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福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年高一上学期10月第一次月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知集合,,又,那么集合P的真子集共有()

A.3个 B.7个 C.8个 D.9个

2．已知集合,集合,若,则()

A. B.0 C.1 D.2

3．下列对应关系:

①,,的平方根;

②,,的倒数;

③,,;

④,,.

其中f是A到B的函数的是()

A.①③ B.②④ C.②③ D.③④

4．已知实数,则函数的最小值为()

A.5 B.6 C.7 D.8

5．下列说法正确的是().

A.若,则

B.若,,则

C.若,,则

D.若,,则

6．设函数，则不等式的解集是()

A. B. C. D.

7．区间是关于x的一元二次不等式的解集,则的最小值是()

A. B. C. D.

8．已知函数，，若对于任意的实数x，与至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．下列四个结论中,正确的结论是()

A.与表示同一个函数.

B.“”的充分不必要条件是“”.

C.已知,,则的取值范围的取值范围是.

D.函数的值域为.

10．下列说法正确的有()

A.的最小值为2.

B.函数的最小值为2.

C.若x,y为正实数,若,则的最小值为3.

D.设x,y为正实数,若,则的最大值为.

11．对,表示不超过x的最大整数,如,,我们把,叫做取整函数,也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题,其中是真命题有()

A.,,

B.,,若,则

C.,

D.不等式的解集为

三、填空题

12．若函数的定义域是,则函数的定义域是________.

13．已知函数,若关于x的不等式恰有两个整数解,则实数m的取值范围是________.

四、双空题

14．已知命题,,则p的否定是_________,命题p是_________（填入“真”或“假”）命题.

五、解答题

15．已知全集,集合,

（1）若,求;

（2）若“”是“”充分不必要条件,求实数a的取值范围.

16．已知,.

（1）若不等式对于一切实数x恒成立,求实数的取值范围;

（2）求不等式的解集.

17．某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目,全年需投入固定成本万元,若该项目在2024年有x万人游客,则需另投入成本万元,且,该游玩项目的每张门票售价为60元.

（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）;

（2）当2024年的游客为多少时,该项目所获利润最大?最大利润是多少.

18．已知函数.

（1）求函数的解析式;

（2）设,若存在使成立,求实数k的取值范围.

19．取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明:对于满足一定条件的图象连续不间断的函数,在其定义域内存在一点,使得,则称为函数的一个“不动点”.若,则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即,,.已知函数.

（1）当时,求函数的不动点;

（2）若对于任意,函数恒有两个相异的不动点,求实数m的取值范围;

（3）若时,且,求实数n的取值范围.

参考答案

1．答案：B

解析：因为,

又,所以,

所以集合的真子集有:

,,,,,,共7个.

故选B.

2．答案：A

解析：因为,且集合中,

所以集合A中的元素,解得,

又因为,所以,所以或,

若,解得或,

经检验,时,与集合中元素的互异性矛盾,时,满足题意,

若,由上述过程可知,不满足题意;

综上,所以,

故选:A.

3．答案：D

解析：对于①,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是函数.

对于②,集合A中有一个元素0,在B集合中没有对应元素,不是函数.

对于③,集合A中任一元素,都有B中唯一确定的元素与之对应,是函数.

对于④,集合A中任一元素,都有B中唯一确定的元素与之对应,是函数.

故选D.

4．答案：B

解析：实数,

,

当且仅当,即时等号成立,

函数的最小值为6.

故选:B.

5．答案：D

解析：对于A,若,不一定有,如当时,故A错误;

对于B,因为,所以,

又因为,所以,故B错误;

对于C,若,,则不一定成立,

如当,,时,,此时,故C错误;

对于D,,

因为,,所以,

所以,故,故D正确.

故选:D.

6．答案：B

解析：因为，所以，

不等式等价于或，

解得或或，

所以不等式的解集为.

故选：B

7．答案：A

解析：由题意知a,b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根,

则有,,,所以,且a,b是两个不同的正数,

则有,

当且仅当时,,,等