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广东省茂名市化州市部分学校2024-2025学年高二上学期学科知识水平综合测试（一）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知集合,则()

A. B. C. D.

2．若复数z满足(其中i是虚数单位),则()

A.z的实部是2 B.z的虚部是2i C. D.

3．已知空间向量,空间向量满足且,则()

A. B. C. D.

4．在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是()

A.恰有1件一等品 B.至少有一件一等品

C.至多有一件一等品 D.都不是一等品

5．在空间直角坐标系中,,,,则平面ABC的一个法向量为()

A. B. C. D.

6．的大小关系为()

A. B. C. D.

7．如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足的是()

A. B. C. D.

8．已知函数,的定义域为,在定义域内存在唯一,使得,则的取值范围为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．已知向量,,,则()

A. B.在上的投影向量为

C. D.向量,,共面

10．给定组数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则()

A.中位数为3 B.标准差为

C.众数为2和3 D.第85百分位数为4

11．函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()

A.的最小正周期为

B.是图象的一个对称中心

C.在区间上单调递增

D.把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象

12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是()

A. B.

C.向量与的夹角是 D.与所成角的余弦值为

三、填空题

13．已知,则的最小值为________,当y取得最小值时x的值为________.

14．已知函数,则不等式的解集为________.

四、解答题

15．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.

（1）求角A的大小;

（2）若,求的面积.

16．已知空间三点,,,在直线OA上有一点H满足.

（1）求AB的长;

（2）求点H的坐标.

17．已知函数,.

（1）当时,求函数的值域;

（2）若,,求的值.

18．为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召若干名宣传志愿者,成立环境保护宣传小组,现把该小组的成员按年龄分成、、、、这5组,得到的频率分布直方图如图所示,已知年龄在内的人数为5.

（1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动,再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者做环境保护知识宣讲,求这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率;

（2）在（1）的条件下,记抽取的2名志愿者分别为甲、乙,该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者,给甲、乙各随机派发价值50元、80元、100元的纪念品一件,求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.

19．如图所示为直四棱柱，，，，，M，分别是线段，的中点.

(1)证明:平面；

(2)求线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.

参考答案

1．答案：B

解析：由可得,即,

所以.

故选:B

2．答案：D

解析：

因此z的实部是1,虚部是2,,

故选:D

3．答案：A

解析：,且空间向量满足,

可设,

又,,得.

,故A正确.

故选:A.

4．答案：C

解析：将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:,,,,,,,,,.其中恰含有1件一等品的取法有:,,,,,,恰有1件一等品的概率为,恰有2件一等品的取法有:,,.故恰有2件一等品的概率为,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为.

5．答案：A

解析：由已知,,

设平面ABC的一个法向量为,

取,解得,

选项A符合,另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.

故选:A.

6．答案：D

解析：,即,,

所以.

故选:D

7．答案：C

解析：在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，，

对于A，，，，，直线l的方向向量，

，显然，直线与l不垂直，A不是；

对于B，由选项A知，直线l的方向向量，，，

则，显然，直线与l不垂直，B不是；

对于C，由选项A知，直线l的方向向量，，，

则，显然，，C是；

对于D，由选项A知，直线l的方向向量，，，

则，显然，直线与l不垂直，D不是.

故选：C

8．答案：C

解析：由函数,

因为,可得,

因为函数的定义域为,在定义域内存在唯一,使得,

则满足