《8.4.1平面》疑难破解.docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES3

《平面》疑难破解

疑难探究共面、共线问题

【讲解1】点、线共面问题的证明

1.点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论.

2.解决此类问题的方法:

(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;

(2)辅助平面法(平面重合法):先由部分点、线确定平面?,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.

(3)反证法:假设不共面,结合题设推出矛盾.

注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.

【讲解2】点共线、线共点问题

1.点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上的问题,主要证明依据是基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.解决点共线问题的常用方法:

(1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上;

(2)选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.

3.证明三线共点的步骤:

(1)首先说明两条直线共面且交于一点;

(2)然后说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交;

(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.

例题已知在平面外,,如图所示.求证:、、三点共线.

【思路点拨】

思路一:先证明平面,再证点在平面与平面的交线上,最后证明、、三点共线;

思路二:先确定平面平面,再证明、、三点共线.

证明证法一:∵,

∴平面.

又平面平面.

由基本事实3可知,点在平面与平面的交线上,同理可证、也在平面与平面的交线上.

∴、、三点共线.

证法二:∵,

∴直线与直线确定平面.

又∵,

∴平面平面.

∵平面平面平面.

∵,

∴Q∈平面APR,又Q∈,∴Q∈PR,

∴P、Q、R三点共线.