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E2-071设n和k是正整数,S是平面上n个点的集合,满足:
(1)S中任何三点不共线;
(2)对S中的每一个点P,S中至少存在k个点与P距离相等.
【题说】第三十届(1989年)国际数学奥林匹克题3,本题由荷兰提
供.条件(1)可以取消.
【证】以S中的两个点为端点的线段称为“好线段”.
另一方面,以S中任一点P为圆心,可以作一个圆,圆上至少有k
计算在内).从而至少有
条弦是好线段.
E2-072学校举办足球循环赛,每个参赛队都与其他队各赛一场,胜一
场积2分,平一场积1分,负一场积0分,已知仅有一个队积分最多,但他胜
的场数最少,问至少有几队参赛,才有可能这样?
【题说】第十六届(1990年)全俄数学奥林匹克九年级题5.
【解】称积分最多的为冠军,设冠军胜n场,平m场,则他共积2n+m
分,由题设,其余各队胜的场数不少于n+1,即积分不少于2(n+1).由2n+m
>2n+2得m≥3.从而有队踢过平局,他们的积分不少于2(n+1)+1,由
2n+m≥2n+3,得m≥4.
冠军队至少胜1场,否则,它的积分不多于S-1(S是参赛的队数).其
余队的积分少于S-1,于是所有参赛队积分之和少于S(S-1).而每赛一场,
双方积分之和总是2分,因此所有队积分之和应是2·S(S-1)/2=S(S-1),
矛盾.
这样,m≥4,n≥1,因此冠军队比赛场数不少于5,参赛队数(包括冠军
队)不少于6.
下面的比赛积分表表明,有6个队(分别用A、B、C、D、E、F表示)参
赛且满足题设要求的比赛结果.因此至少6队参赛.
E2-073设n≥3.考虑在同一圆周上的2n-1个互不相同的点所成的集合
E.将E中一部分点染成黑色,其余的点不染颜色.如果至少有一对黑点,以
它们为端点的两条弧中有一条的内部(不包含端点)恰含E中n个点,则称这
种染色方式为好的.如果将E中k个点染黑的每一种染色方式都是好的,求k
的最小值.
【题说】第三十一届(1990年)国际数学奥林匹克题2.本题由捷克提
供.
【解】将E中的点依次记为1,2,3,…,2n-1,并将点i与i+(n-1)
用一条边相连(我们约定j+(2n-1)k·,k∈Z,表示同一个点j).这样得到
一个图G.G的每个点的次数均为2(即与两个点相连),并且相差为3的两个
点与同一点相连.
由于G的每个点的次数为2,G由一个或几个圈组成.
在32n-1时,1,2,…,2n-1中每一点j都可以表示成3k的形式
(即方程3x≡j(mod2n-1)有解),因此图G是一个长为2n-1的圈.在这圈
上可以取出n-1个互不相邻的点,而且至多可以取出n-1个互不相邻的点.
为
共可取出n-2个点互不相邻.
综上所述,在32n-1时,mink=n.在3|2n-1时,mink=n-1.
E2-074地面上有10只小鸟在啄食,其中任意5只鸟中至少有4只在一个圆
周上,问有鸟最多的一个圆周上最少有几只鸟?
【题说】1991年中国数学奥林匹克题3.
【解】9只鸟在同一圆周上,1只鸟不在这圆周上,满足题目条件.
设有鸟最多的圆上至少有l只鸟,则4≤1≤9.
首先证明,l≠4.由l≤9,必有4只鸟不在同一圆周上,过其中每3只作
一个圆,共得4个圆,其余6只鸟中的每一只与上述4只鸟组成5元组,因而
这
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