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第五章万有引力与宇宙航行

第1讲万有引力定律及其应用

基础梳理

1．开普勒行星运动定律

(1)所有行星围绕太阳运动的轨道都是__椭圆__，太阳处在所有椭圆的一个__焦点__上．

(2)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过___相等__的面积．

(3)所有行星的轨道的半长轴的__三次方__跟它的公转周期的__二次方__的比值都相等．

2．万有引力定律

自然界的__任何物体__都相互吸引，引力的大小与物体的质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比．

公式F＝__Geq\f(m1m2,r2)__.__卡文迪什__用扭秤实验测得引力常量．

G＝____6.67×10-11__N·m2/kg2.

3．万有引力理论的主要成就

(1)__发现未知天体__.

(2)__计算天体的质量__.

4．把天体运动看成是标准的匀速圆周运动，这些天体做匀速圆周运动所需的向心力是它受到的万有引力提供的．具体公式有Geq\f(mM,r2)＝__meq\f(v2,r)__＝__mω2r__＝__meq\f(4π2,T2)r__＝__m(2πf)2r__＝__man__.

5．第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫__环绕速度__.

(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在__地面附近__环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

(3)第一宇宙速度是人造卫星的__最大环绕__速度，也是人造地球卫星的__最小发射__速度．

(4)第一宇宙速度的计算方法．

①由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R)).

②由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR).

6．第二宇宙速度和第三宇宙速度

(1)第二宇宙速度(脱离速度)：

v2＝__11.2__km/s，使物体挣脱__地球__引力束缚的最小发射速度．

(2)第三宇宙速度(逃逸速度)：

v3＝__16.7__km/s，使物体挣脱__太阳__引力束缚的最小发射速度．

易错辨析

1.当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)

2.地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．(√)

3.卡文迪什利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．(√)

4.第一宇宙速度与地球的质量有关．(√)

5.地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)

6.若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．(√)

对开普勒行星运动定律的理解

1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．

2．由开普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．

3．开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．

(2023·镇江期初)北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，地球运行速度最小的节气是(B)

A．春分 B．夏至

C．秋分 D．冬至

解析：根据开普勒第二定律知：对太阳的每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，设地球到太阳中心的距离为r，根据扇形的面积公式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)vtr，由此式可以判断，当面积S和时间t相等时，r越小，v越大，故地球在近日点的速度最大，远日点的速度最小，即地球运行速度最小的节气是在夏至，故B正确．

对万有引力定律的理解

1．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．

(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.

(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0.

(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．

越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg.

2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)

(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2).

(2)地球上空的重力加速度g′

地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg