八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题12 反比例函数中k的几何意义.docVIP

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专题12反比例函数中k的几何意义

专题解读】反比例函数中k的几何意义就是双曲线上任意一点与两坐标轴构成的矩形面积的数量等于k的绝对值，而此矩形的两边恰巧与这个点的横纵坐标有关，于是，巧妙的运用图形面积，将极大的简化运算，一般来讲，当图象上明确存在一个点时，经常从k的几何意义锲入问题.

思维索引

例1.已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E.

（1）求证：点E是BC中点；

（2）用含k的代数式表达图中四个三角形的面积.

变式】已知，如图，双曲线（x＞0）经过矩形ODEC的边DE的中点A（4，2），交EC于点B.求△AOB的面积.

例2.函数和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴交的图象于点B.给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

素养提升

1.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(4，3)，顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(x0)的图象经过顶点B，则k的值为()

A.12B.27C.32D.36

2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为(－2，6)，反比例函数y＝(x0)经过点D，若AC的延长线交y轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为()

A.3B.5C.6D.7

3.如图，点A(m，1)，B(2，n)在双曲线y＝，连接OA，OB.若＝8，则k的值是()

A.－12B.－8C.－6D.－4

4.如图，反比例函数y＝的图象与矩形OABC的边分别交于D，E两点，D为AB的中点，若△BDE的面积为，则k的值为()

A.1B.2C.4D.8

若矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x，y)为这个矩形的坐标.如图，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是()

A.点A的横坐标有可能大于3 B.矩形1是正方形时，点A位于区域②

C.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D.当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

6.如图，平行于x轴的直线与函数y＝，y＝的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为.

7.已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝(x0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB·AC＝160，则点E的坐标为.

8.如图，双曲线y＝经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是.

9.如图，点C在反比例函数y＝(x0)的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，则k的值为.

10.已知函数y＝，的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB.下列结论：①若点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)在图象上，且x1x20，则为x2y2；②当点P坐标为(0，－3)时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有＝7.5，AP＝4BP；其中正确的结论是.

11.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数的表达式.

如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，ACy轴于点E，BDy轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，求k1－k2的值.

13.如图，A、B是双曲线y＝(k0)上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，