专题01 空间向量及其运算（重难点突破）原卷版_1.docx

专题01空间向量及其运算

知识点1：空间向量的有关概念

1．空间向量

(1)、定义：在空间，具有______和______的量叫做空间向量．

(2)、长度或模：空间向量的大小．

(3)、表示方法：

①几何表示法：空间向量用____________表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：______，其模记为______或|______.

2．几类常见的空间向量

名称

方向

模

记法

零向量

单位向量

相反向量

a的相反向量：－a

eq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：______

相等向量

相等

a＝b

知识点2：空间向量的线性运算

1、向量的加法、减法

空间向量的运算

加法

eq\o(OB,\s\up8(→))＝____________＝a＋b

减法

eq\o(CA,\s\up8(→))＝____________＝a－b

加法运算律

①交换律：a＋b＝b＋a

②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

2、空间向量的数乘运算

①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

当λ0时，λa与向量a方向____________；当λ0时，λa与向量a方向____________；

当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|______倍．

②运算律

结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝______，λ(a＋b)＝______．

知识点3：共线问题

共线向量

(1)、定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

(2)、方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.

(3)、共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使___________．

(4)、如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.

知识点4：向量共面问题

共面向量

(1)、定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

(2)、共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________．

(3)、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).

知识点5：空间向量数量积的运算

空间向量的数量积

(1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.

(2)、常用结论(a，b为非零向量)

①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).

(3)、数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律

(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)

交换律

a·b＝b·a

分配律

a·(b＋c)＝a·b＋a·c

知识点6：夹角问题

1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：，

那么空间两个向量、的夹角的余弦。

知识点7：空间向量的长度

定义：

在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：

将其推广：

；。

2.利用向量求线段的长度。

将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。

知识点8、空间向量的坐标运算

（1）、空间两点的距离公式

若，则

①

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②，

或.

知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。

（2）、空间线段中点坐标

空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.

（3）、向量加减法、数乘的坐标运算

若，则①;

②;③;

（4）、向量数量积的坐标运算

若，则

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。

（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若，则