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专题1-1集合及其运算的12种题型
一、热考题型归纳
【题型一】集合与元素判断
【题型二】相等集合
【题型三】集合中元素的个数
【题型四】子集及真子集
【题型五】空集性质
【题型六】交集运算及其性质
【题型七】并集运算及其性质
【题型八】全集与补集运算及其性质
【题型九】交并补综合运算
【题型十】集合运算与新定义
【题型十一】集合运算技巧:韦恩图
【题型十二】集合运算技巧:容斥原理
二、培优练
热点考题归纳
【题型一】集合与元素判断
【典例分析】
1.(湖南省长沙市雅礼中学等十六校2022届第二次联考数学试题)已知集合,下列选项中均为A的元素的是(???????)
(1)(2)(3)(4)
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4)
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断.
集合有两个元素:和,故选:B
2.下面五个式子中:①;②;③{a}{a,b};④;⑤a{b,c,a};正确的有(???????)
A.②④⑤ B.②③④⑤ C.②④ D.①⑤
【答案】A
【分析】根据元素与集合,集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
中,是集合{a}中的一个元素,,所以错误;
空集是任一集合的子集,所以正确;
是的子集,所以错误;
任何集合是其本身的子集,所以正确;
a是的元素,所以正确.
故选:A.
【提分秘籍】
元素与集合
(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.集合通常用大写字母表示,元素通常用小写字母表示.从定义看,集合具有无序性、确定性和互异性.
(2)一般地,如果是集合中的元素,就说属于集合,记为,如果不是集合中的元素,就说不属于集合,记为.
(3)自然数集记为N,正整数集记为Z,有理数集记为Q,实数集记为R.
【变式演练】
1.(2023·北京·统考模拟预测)设集合,则(????)
A.当时, B.对任意实数,
C.当时, D.对任意实数,
【答案】C
【分析】依据选项将点代入验证即可.
【详解】当时,,
将代入A得:成立,故,即A错误;
若时,此时将代入不成立,即B错误;
当时,此时将代入不成立,即C正确;
若时,此时将代入A得成立,即D错误;
故选:C.
2.(2022秋·福建福州·高一校联考期中)已知集合,则下列关系中,正确的是(?????).
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】结合题意写出集合中的具体元素,然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解.
【详解】因为集合,
对于A,因为,故选项A错误;
对于B,是一个集合,且,故选项B错误;
对于C,因为集合,所以集合与集合不存在包含关系,故选项C错误;
对于D,因为集合,任何集合都是它本身的子集,所以,故选项D正确,
故选:D.
3.(2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习)下列各式中,正确的是(????)
①???②???③???④???⑤???⑥
⑦???⑧
A.②⑤⑦⑧ B.②⑤⑦ C.③⑤⑦⑧ D.①⑤⑥⑦
【答案】A
【分析】利用集合中元素的性质,元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可.
【详解】对于①②③,是空集,空集是任意集合的子集,故正确,余者不正确,故①③错误,②正确;
对于④⑤,元素与集合之间的关系用“”或“”表示,故不正确,成立,故④错误,⑤正确;
对于⑥⑦,集合与集合之间是包含或不包含的关系,故不正确,正确,故⑥错误,⑦正确;
对于⑧,由集合中元素的无序性,可知,故正确,故⑧正确;
综上:正确的命题有②⑤⑦⑧.
故选:A.
【题型二】相等集合
【典例分析】
1.(2022·上海·高一专题练习)下列选项中,表示同一集合的是
A.A={0,1},B={(0,1)} B.A={2,3},B={3,2}
C.A={x|–1x≤1,x∈N},B={1} D.A=?,
【答案】B
【分析】利用集合相等的定义直接求解.
【详解】在A中,A={0,1}是数集,B={(0,1)}是点集,二者不表示同一集合,故A错误;在B中,A={2,3},B={3,2},集合中的元素具有无序性,所以两个集合相等,表示同一集合,故B正确;在C中,A={x|–1x≤1,x∈N}={0,1},B={1},二者不相等,不表示同一集合,故C错误;在D中,A=?,={0},二者不相等,不表示同一集合,故D错误.故选B.
【点睛】本题考查集合相等的判断,考查集合相等的定义等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
2.(2023秋·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)集合,则(????)
A. B.0 C.1 D.2
【答案】B
【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2,即可由根与系数关系求解.
【详解】因为集
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