专题1-2 空间向量：求距离与角度13种题型归类（解析版）_1.docx

专题1.2空间向量：求距离与角度13种题型归类

一、热考题型归纳

【题型一】求平面法向量

【题型二】点到面的距离(向量法)

【题型三】点到直线的距离(向量法)

【题型四】两平面之间的距离(向量法)

【题型五】异面直线之间的距离(向量法)

【题型六】异面直线的夹角

【题型七】直线与平面所成的角

【题型八】二面角

【题型九】线线角应用

【题型十】线面角应用

【题型十一】面面角应用

【题型十二】斜棱柱型建系计算

【题型十三】空间向量求体积

二、培优练

热点考题归纳

【题型一】平面法向量

【典例分析】

1.（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.

【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且，

等边△的高为，

在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，

则，且，

所以，，，

若为面PBC的法向量，则，令，则，

又平面PBC，则且k为实数，，故.故选：D

2.（（2023·全国·高二专题练习）已知，则平面的一个单位法向量是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.

【详解】设平面的一个法向量为，

又，

由，

即，

又因为单位向量的模为1，所以B选项正确，故选：B.

【提分秘籍】

求平面法向量的方法与步骤

(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；

(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；

(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；

(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．

【变式演练】

1.（2023·全国·高二专题练习）已知，则下列向量是平面法向量的是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用平面法向量的求法求解即可.

【详解】因为，所以，

设平面的一个单位法向量为，

则，可得，经检验，仅符合题意．故选：C．

2.（2023·全国·高二专题练习）已知，则平面ABC的一个单位法向量是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出平面ABC的一个法向量，进而得出单位法向量．

【详解】因为

所以，

令平面ABC的一个法向量为

可得，即，令，则，所以

故平面ABC的单位法向量是，即或．故选：B．

3.（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）已知，则平面的一个单位法向量是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，再逐项判断作答.

【详解】依题意，，设平面的一个法向量为，

则，令，得，于是得与同向的单位向量为，

与反向的单位向量为，D满足，

显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.故选：D

【题型二】点到面的距离（向量法）

【典例分析】

1.（2023秋·全国·高二随堂练习）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解法一：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．解法二：根据三棱锥等体积转换求解点到平面的距离.

【详解】解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，

??则，

．设平面的法向量为，

则即，令，则，

，∴点到平面的距离为．故选：A.

解法二??底面，，又，且平面，

平面，平面，，，

，在中，，令点到平面的距离为，

，，．故选：A.

2.（2023·全国·高二专题练习）在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.

【详解】如图，以D为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，

??则,

故，设平面的法向量为，

则，令，则，

故点到平面的距离为,故选：C

【提分秘籍】

对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：

①求平面的法向量；

②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．

空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属