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专题1.2空间向量:求距离与角度13种题型归类
一、热考题型归纳
【题型一】求平面法向量
【题型二】点到面的距离(向量法)
【题型三】点到直线的距离(向量法)
【题型四】两平面之间的距离(向量法)
【题型五】异面直线之间的距离(向量法)
【题型六】异面直线的夹角
【题型七】直线与平面所成的角
【题型八】二面角
【题型九】线线角应用
【题型十】线面角应用
【题型十一】面面角应用
【题型十二】斜棱柱型建系计算
【题型十三】空间向量求体积
二、培优练
热点考题归纳
【题型一】平面法向量
【典例分析】
1.(2023·全国·高二专题练习)如图,在正三棱锥D-ABC中,,,O为底面ABC的中心,点P在线段DO上,且,若平面PBC,则实数(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系,根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量,结合线面平行及向量共线定理求参数即可.
【详解】由题设,△为边长为的等边三角形,且,
等边△的高为,
在正棱锥中,以为原点,平行为x轴,垂直为y轴,为z轴,如上图示,
则,且,
所以,,,
若为面PBC的法向量,则,令,则,
又平面PBC,则且k为实数,,故.故选:D
2.((2023·全国·高二专题练习)已知,则平面的一个单位法向量是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】待定系数法设平面的一个法向量为,由法向量的性质建立方程组解出分析即可.
【详解】设平面的一个法向量为,
又,
由,
即,
又因为单位向量的模为1,所以B选项正确,故选:B.
【提分秘籍】
求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时,要选取平面内两不共线向量,如eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(AB,\s\up6(→));
(2)设平面的法向量为n=(x,y,z);
(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))=0,,n·\o(AB,\s\up6(→))=0,))并求解;
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
【变式演练】
1.(2023·全国·高二专题练习)已知,则下列向量是平面法向量的是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】利用平面法向量的求法求解即可.
【详解】因为,所以,
设平面的一个单位法向量为,
则,可得,经检验,仅符合题意.故选:C.
2.(2023·全国·高二专题练习)已知,则平面ABC的一个单位法向量是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】先求出平面ABC的一个法向量,进而得出单位法向量.
【详解】因为
所以,
令平面ABC的一个法向量为
可得,即,令,则,所以
故平面ABC的单位法向量是,即或.故选:B.
3.(2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习)已知,则平面的一个单位法向量是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据给定条件,求出平面的法向量,再逐项判断作答.
【详解】依题意,,设平面的一个法向量为,
则,令,得,于是得与同向的单位向量为,
与反向的单位向量为,D满足,
显然选项A,B,C中的向量与不共线,即A,B,C不满足.故选:D
【题型二】点到面的距离(向量法)
【典例分析】
1.(2023秋·全国·高二随堂练习)在三棱锥中,底面,则点到平面的距离是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】解法一:以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点到平面的距离.解法二:根据三棱锥等体积转换求解点到平面的距离.
【详解】解法一:建立如图所示的空间直角坐标系,
??则,
.设平面的法向量为,
则即,令,则,
,∴点到平面的距离为.故选:A.
解法二??底面,,又,且平面,
平面,平面,,,
,在中,,令点到平面的距离为,
,,.故选:A.
2.(2023·全国·高二专题练习)在单位正方体中,为的中点,则点到平面的距离为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系,求得相关点坐标,求得平面的法向量,根据空间距离的向量求法,即可求得答案.
【详解】如图,以D为坐标原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,
??则,
故,设平面的法向量为,
则,令,则,
故点到平面的距离为,故选:C
【提分秘籍】
对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为:
①求平面的法向量;
②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值,即为点到平面的距离.
空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解.着重考查了推理与运算能力,属
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