专题02 空间向量在立体几何中的应用（课时训练）解析版_1.docx

专题02空间向量在立体几何中的应用

1．（2023春·江西赣州·高二校考阶段练习）已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案.

【详解】由，，，得，，

设是平面的一个法向量，则即,

取，则，故，则与共线的向量也是法向量，

经验证，只有C正确..

故选：C．

2．（2023秋·高二课时练习）已知向量，平面α的一个法向量，若，则（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据得到得到，从而得到关系式.

【详解】由题意可知，故，

故选：C

3．（2023·全国·高二专题练习）已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（）

A．α⊥β B．α∥β

C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对

【答案】B

【分析】根据两个平面法向量的关系即可判断两个平面的位置关系，从而得出结果.

【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，可得，所以，即平面平面，

故选：B.

4．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】C

【分析】如图建立以A为原点的空间直角坐标系.依次判断各选项是否满足即可.

【详解】如图建立以A为原点的空间直角坐标系，设正方体边长为.

A选项，，

则，则，故A错误；

??

B选项，，

，则，故B错误；

??

C选项，，

，则，即，故C正确；

??

D选项，

，则，故D错误.

??

故选：C

5．（2023·上海浦东新·统考三模）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（????）

A．与垂直 B．与平面垂直

C．与平行 D．与平面平行

【答案】C

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可.

【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，

则

，

对于A，，

则，所以，故A正确；

对于B，，则，所以，

又平面，

所以平面，故B正确；

对于C，，

若与平行，则存在唯一实数使得，

所以，无解，

所以与不平行，故C错误；

对于D，，

设平面的法向量，

则有，可取，

因为，且平面，

所以平面，故D正确.

故选：C.

6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中正确的是（????）

①平面平面?????

②?????

③?????

④平面

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④

【答案】B

【分析】对于①，根据题意得，，平面，得，得平面，又由，对于②③，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量法即可解决；对于④，由①中得，，，得，即可解决.

【详解】由题知，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，

如图，连接，

所以，，平面，

所以，

因为平面，

所以平面，

因为在中，分别为中点，

所以，

所以平面，

因为平面

所以平面平面，故①正确，

由题知，两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，

因为分别为所在棱的中点，为下底面的中心，

所以，

所以，

因为，

所以成立，不成立；故②正确，③错误；

又由①中得，，，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，故④正确，

故选：B

7．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解．

【详解】依题意得，，则

设，则

，取则，所以

故选：D

8．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则.

【答案】

【分析】根据线面位置关系的向量关系列式即可.

【详解】若，则有，即，解得.

故答案为：.

9．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则.

【答案】

【分析】依题意可得，则，根据数量积的坐标表示得到方程，即可得解.

【详解】因为直线的一个方向向量，平面的一个法向量且，

所以，所以，即，

所以.

故答案为：

10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则平面的一个法向量是．

【答案】(答案不唯一，是的非零倍数即可)

【分析】写出的坐标，设出法向量，列出方程组，求出一个法向量.

【详解】依题意，得，．设平面的一个法向量，

则，取，得，

所以是平面的一个法向量．

故答案为：

11．（2023