黑龙江省伊春市2024届高三下学期月考试（三）数学试题试卷.doc

黑龙江省伊春市2023届高三下学期月考试（三）数学试题试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A． B． C． D．

2．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）

A．4π B．8π C． D．

3．若复数是纯虚数，则()

A．3 B．5 C． D．

4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.

A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸

5．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）

A． B． C．2 D．﹣2

6．已知直线是曲线的切线，则（）

A．或1 B．或2 C．或 D．或1

7．若点是角的终边上一点，则（）

A． B． C． D．

8．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）

A．斤 B．斤 C．斤 D．斤

9．已知复数满足，则（）

A． B． C． D．

10．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（）.

A．9 B．6 C． D．

11．若复数是纯虚数，则实数的值为()

A．或 B． C． D．或

12．已知集合，，，则()

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______.

14．定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点，，，在半径为的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________.

15．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案）

16．已知是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，M、N分别为、的中点.

?

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积.

18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.

20．（12分）已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最大值为，若，证明：.

21．（12分）已知数列满足：对任意，都有.

（1）若，求的值；

（2）若是等比数列，求的通项公式；

（3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列.

22．（10分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

以D为原点，DA，DC，DD1分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值．

【详解】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，，

取平面的法向量为，

设直线