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黑龙江省伊春市2023届高三下学期月考试(三)数学试题试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
2.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()
A.4π B.8π C. D.
3.若复数是纯虚数,则()
A.3 B.5 C. D.
4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).
A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸
5.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()
A. B. C.2 D.﹣2
6.已知直线是曲线的切线,则()
A.或1 B.或2 C.或 D.或1
7.若点是角的终边上一点,则()
A. B. C. D.
8.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()
A.斤 B.斤 C.斤 D.斤
9.已知复数满足,则()
A. B. C. D.
10.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().
A.9 B.6 C. D.
11.若复数是纯虚数,则实数的值为()
A.或 B. C. D.或
12.已知集合,,,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某地区连续5天的最低气温(单位:℃)依次为8,,,0,2,则该组数据的标准差为_______.
14.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点,,,在半径为的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.
15.的展开式中含的系数为__________.(用数字填写答案)
16.已知是夹角为的两个单位向量,若,,则与的夹角为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,M、N分别为、的中点.
?
(1)证明:;
(2)求三棱锥的体积.
18.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
19.(12分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,是棱上的一点,满足平面.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设,,若为棱上一点,使得直线与平面所成角的大小为30°,求的值.
20.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)记函数的最大值为,若,证明:.
21.(12分)已知数列满足:对任意,都有.
(1)若,求的值;
(2)若是等比数列,求的通项公式;
(3)设,,求证:若成等差数列,则也成等差数列.
22.(10分)在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为、,与直线的交点为,求线段的长.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立空间直角坐标系,由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值.
【详解】
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则,,,
取平面的法向量为,
设直线
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