专题07 函数的性质 (单调性、奇偶性、最大 (小) 值)（解析版）_1_1_1.docx

专题07函数的性质(单调性、奇偶性、最大(小)值)

用定义法判断或证明函数的单调性

1．（2022秋·甘肃武威·高一校考期中）函数

(1)判断函数在上的单调性.

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)函数在上的单调递减；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）由定义法判断函数在上的单调性.

（2）由函数单调性求区间内的最值.

【详解】（1）函数在上的单调递减，证明如下：

，任取，

则，

由，则，，

得，即.

所以函数在上的单调递减.

（2）由（1）可知，函数在上的单调递减，

所以在上的最大值为，最小值为.

2．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）已知二次函数，且.

(1)求的解析式；

(2)证明函数在上单调递增；

(3)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)最大值，最小值

【分析】（1）代入求解即可；

（2）利用增函数的定义证明即可；

（3）根据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）由有，解得，故

（2）任取，且，则

.

因为，，故，则在上为增函数.

即得证.

（3）为二次函数，对称轴，故在上的最大值为，最小值为.

故函数在上的最大值，最小值

3．（2022秋·广东东莞·高一东莞市麻涌中学校联考期中）设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，．

(1)求．

(2)证明：时，恒有．

(3)求证：在上是减函数．

【答案】(1)1

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）令，代入，即可得到.

（2）令，代入，即可证明.

（3）用定义法即可证明在上是减函数.

【详解】（1）由题意

在中，

∴

解得：或

当时，令，则恒成立，故舍去，

∴

（2）由题意及（1）得

在中，

令，

若，则

即，

而当时，，矛盾，

∴

∴

∴时，恒有

（3）由题意及（1）（2）得

在中，

当时，

设任意的且

∵

∴

即

∴

∴在上是减函数

4．（2022秋·河北衡水·高一河北衡水中学校考期中）设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时，

(1)求与的值

(2)求证：函数在上单调递增

(3)解不等式

【答案】(1)

(2)见解析

(3)或

【分析】（1）由题条件求出，再由即可得到求得的值；

（2）题设中有时，，由的恒等变形及题设中的恒等式得到，由此问题得证．做此题时要注意做题步骤，先判断再证明；

（3）由（2）的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可

【详解】（1）令则，故

令，则可得，

令得，

（2）设，则

即，

，故，即

故在上为增函数

（3），

所以，解得或，

所以不等式的解为：或

5．（2022秋·河南洛阳·高一统考期中）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y，．当时，，．

(1)求，的值；

(2)判断函数的单调性并加以证明；

(3)解不等式．

【答案】(1)，2

(2)减函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）令，得，令，，得，解得答案.

（2）函数是减函数，，，变换得到，得到证明.

（3）不等式变换为，再根据函数的单调性得到答案.

【详解】（1）令，得，即．

令，，得，即．

（2）函数是减函数，证明如下：

，，当时，，则，

，即，

所以函数是减函数．

（3），所以，即，

因为函数是减函数，不等式可化为，

所以，解得，不等式的解集为．

6．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知函数.

(1)用定义证明：函数在区间上单调递增.

(2)若对，都有成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出证明；

（2）根据的单调性，求出其在上的最大值，列出不等式，即可求解.

【详解】（1）任取，且，

，

因为，所以，

所以，即.

所以在上为单调递增．

（2）任意都有成立，即.

由（1）知在上为增函数，

所以时，.

所以实数的取值范围是.

7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）定义在R上的函数，当时，且对任意的，有．

(1)证明：；

(2)证明：对任意的恒有；

(3)证明：是增函数；

(4)若，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

(4)

【分析】（1）利用赋值法求得正确答案.

（2）通过证明时，，进而证得结论成立.

（3）由，证得，从而证得结论成立.

（4）根据已知条件化简不等式，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】（1）令，，，.

（2）令，，

由已知，当时，，

，，，

，，

，，.

（3），且，

，，

是增函数.

（4），

，，

，即，解得.

的取值范围是.

8．（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）已知定义在上的函数满足:①对任意的,都有;②当且仅当时,成立.

(1)求;

(2)用定义证明的单调性;

(3)若对使得不