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2024届山大附属中学高三年级模拟考试(四)数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点()
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
2.已知集合,定义集合,则等于()
A. B.
C. D.
3.已知复数,为的共轭复数,则()
A. B. C. D.
4.已知复数满足,其中为虚数单位,则().
A. B. C. D.
5.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为()
A.300, B.300, C.60, D.60,
6.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().
A. B. C. D.
7.将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(0)个单位长度,若所得到的两个图象重合,则的最小值为()
A. B. C. D.
8.若复数满足,则对应的点位于复平面的()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()
A. B. C. D.
10.已知,则p是q的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知集合,,则()
A. B.
C.或 D.
12.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,则
()
A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于 D.α与β相交,且交线平行于
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延长线交BC边于点F,若,则____.
14.在矩形ABCD中,,,点E,F分别为BC,CD边上动点,且满足,则的最大值为________.
15.已知双曲线C:()的左、右焦点为,,为双曲线C上一点,且,若线段与双曲线C交于另一点A,则的面积为______.
16.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表,甲被选中的概率为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)某景点上山共有级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步走一个台阶,也可以一步走两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为,每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题,我们约定,甲从级台阶开始向上走,一步走一个台阶记分,一步走两个台阶记分,记甲登上第个台阶的概率为,其中,且.
(1)若甲走步时所得分数为,求的分布列和数学期望;
(2)证明:数列是等比数列;
(3)求甲在登山过程中,恰好登上第级台阶的概率.
18.(12分)如图,在中,角的对边分别为,且满足,线段的中点为.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)已知,求的大小.
19.(12分)已知函数.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)若,对,恒有成立,求实数的最小值.
20.(12分)如图,已知椭圆经过点,且离心率,过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右顶点为,线段的中点为,记直线的斜率分别为,求证:为定值.
21.(12分)在如图所示的四棱锥中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.
(1)求证:平面;
(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+).
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
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