2024年中考数学几何模型归纳讲练（全国通用）07 三角形中的重要模型-等积模型（教师版）.docxVIP

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专题07三角形中的重要模型-等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1，当//，则；反之，如果，则可知直线//。

图1图2图3

2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。

如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。

例1．（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（???）

??

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出．

【详解】解：∵是边的中线，的面积是3，∴，

∵，∴，故选：D．

【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

例2．（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（）

??

A．9 B．12 C．18 D．20

【答案】B

【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．

【详解】解：∵是的边上的中线，∴，

∵是的边上的中线，∴，

又∵是的边上的中线，则是的边上的中线，

∴，，

则，故选：B．

【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．

例3．（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为．

【答案】12

【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．

【详解】解：，的面积为2，

的面积为4，的面积为，

点为的中点，的面积的面积，

的面积为，故答案为：12．

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．

例4．（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为边上一点且，相交于F，四边形的面积为6，则的面积是．

????

【答案】14.4

【分析】连接,设则根据为边上中线，可得；根据，可得进而，的面积可表示为和由此建立方程解出a的值即可得到的面积.

【详解】解：连接，如图所示：设则

??

∵为边上中线，

∵，

，

，

即解得:.，故答案为:14.4.

【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.

例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．

如图1，是边上的中线，则．

理由：因为是边上的中线，所以．

又因为，，所以．

所以三角形中线等分三角形的面积．

基本应用：

在如图2至图4中，的面积为a．

(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则（用含a的代数式表示）；

(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则（用含a的代数式表示）；

(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则（用含a的代数式表示）；

拓展应用：

(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为（用含a的代数式表示），并写出理由．

【答案】(1)a(2)2a(3)6a(4)2a，见解析

【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；

（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；

（3）由（2）结论即可得出，从而得解；

（4）点E是线段的中点，可得