《复数的几何意义》同步学案(教师版) (1).docxVIP

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《复数的几何意义》同步学案

情境导入

同学们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,实数可以用数轴上的点来表示,那么,复数能否像实数一样也用点来表示呢?类比实数的几何意义,复数的几何意义是什么呢?

自主学习

自学导引

1.复平面.

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_____,轴叫做_____,轴叫做_____.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示______.

2.复数的几何意义.

3.复数的模.

复数,对应的向量为,则向量的模叫做复数的模,记作_____或_____.由模的定义可知:_____.

4.共轭复数.

一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为______.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做______.复数的共轭复数用表示,即如果,那么_______.

答案:

1.复平面实轴虚轴纯虚数

3.

4.共轭复数共轭虚数

预习测评

1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

3.复数的共轭复数是_____.

4.设,其中是实数,则()

A.1

B.

C.

D.2

答案:

1.C

解析:由题意得复数的实部为-1,虚部为-2,因此在复平面内对应的点为(,位于第三象限.

2.A

解析:由已知可得复数在复平面内对应的点的坐标为,且该点在第四象限,所以解得

3.

4.

解析:因为,所以,所以.

新知探究

探究点1复平面及其结构

知识详解

根据复数相等的定义,任何一个复数,都可以由一个有序实数对唯一确定,因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示,点的横坐标是,纵坐标是,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.例如,复平面内的点表示实数0,实轴上的点表示实数2,虚轴上的点表示纯虚数,点表示复数等.

典例探究

例1实数分别取什么值时,复数对应的点在:

(1)第三象限;

(2)虚轴上;

(3)第四象限.

解析:根据复数所在的位置,确定复数实部与虚部需要满足的条件,建立方程或不等式(组)求解.

答案:因为是实数,所以也是实数.

(1)当实数满足即当时,点在第三象限.

(2)当实数满足,即当或2时,点在虚轴上.

(3)当实数满足即当时,点在第四象限.

方法归纳按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.

变式训练1在复平面内,若复数的对应点在虚轴上和实轴负半轴上,分别求复数.

答案:若复数的对应点在虚轴上,则,

所以或,所以或.

若复数的对应点在实轴负半轴上,

则所以,所以.

探究点2复数的几何意义

知识详解

1.复数的几何意义与点对应.

由探究点1可知,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数复平面内的点,这是复数的一种几何意义.

2.复数的几何意义与向量对应.

在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的,这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示,设复平面内的点表示复数,连接,显然向量由点唯一确定;反过来,点(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.

因此,复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数平面向量,这是复数的另一种几何意义.

为了方便,常把复数说成点或向量,并且规定,相等的向量表示同一个复数.要确定一个向量对应的复数就必须找到起点为坐标原点的且与此向量相等的向量.

[特别提示]

1.理解复数与复平面内的点一一对应的注意点.

(1)复数的实质是有序实数对.

(2)复平面内的点的坐标是,而不是.也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.

(3)当时,是纯虚数,所以虚轴上的点都表示纯虚数.

(4)复数中的,书写时应小写;复平面内点中的,书写时应大写.

2.根据复数与复平面内的点一一对应,复数与平面向量一一对应,可知复数、复平面内的点和平面向量之间的关系可用下图表示.

典例探究

例2(1)已知,为复平面的原点,试写出所表示的复数;

(2)已知复数,在复平