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《椭圆及其标准方程》疑难破解

疑难1椭圆标准方程的求法

1.定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义确定的值,结合焦点位置写出椭圆方程.

2.待定系数法求椭圆的标准方程

(1)求椭圆的标准方程,一般是先“定性”,即判断焦点所在的坐标轴;再“定量”,即确定的值.

(2)求的值,一方面可利用条件直接求出;另一方面可用待定系数法设出相应的标准方程,再计算.

如果明确椭圆的焦点在轴上,那么设所求的椭圆方程为;

如果明确椭圆的焦点在轴上,那么设所求的椭圆方程为;

如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在轴上,还是在轴上,那么方程可设为.

【例题】求符合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)过点,且与椭圆有相同的焦点;

(2)焦点在坐标轴上,且经过和两点.

思路点拨

(1)思路一:设求??得到椭圆的标准方程;

思路二:设所求方程为,利用待定系数法求解.

(2)设?待定系数法求椭圆的方程.

解析：(1)解法一:因为所求椭圆与椭圆的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在轴上,且.设所求椭圆的标准方程为.因为,且,所以.①

因为点在椭圆上,所以,即.②

由①②得,所以所求椭圆的标准方程为.

解法二:设所求椭圆方程为,因为点在椭圆上,所以,化简得,解得或(舍).

所以所求椭圆方程为.

(2)设所求椭圆方程为.因为和两点在椭圆上,所以即解得所以所求椭圆的标准方程为.

疑难2求曲线方程问题求曲线方程问题

1利用椭圆的定义求动点轨迹方程

（1）解题步骤：

（2）易错警示:

条件

结论

动点的轨迹是椭圆

动点的轨迹是线段

动点不存在,因此轨恋不存在

2相关点法(代入法)求动点的轨迹方程

(1)相关点法

有些与椭圆有关的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去即可解决问题.这种求轨迹方程的方法叫相关点法.

(2)相关点法的解题步骤

设是要求的轨迹上任一点,是已知曲线上与相关的动点:

建立两动点、之间的关系:

将上述关系式代入点所在的曲线方程,化简就可得到点的轨迹方程.

【例题】

求过点且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程.

思路点拨：

由两圆内切确定圆心距与半径的关系?寻找动点满足的几何条件?判定几何条件符合饰圆的定义,进而求出椭圆方程.

解析：

将圆的方程化成标准形式为,则圆心坐标为,半径为6.

易知点在圆的内部,如图所示.

设动圆圆心的坐标为,切点为.

由于动圆与已知圆内切,所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆圆心的距离,即.因为,所以.又因为,所以.根据椭圆的定义知点的轨迹是以点和点为焦点,线段的中点(原点)为中心的椭圆,所以圆心的轨迹方程为.

解题模板：

与圆有关的轨迹问题,常由圆的几何性质得到几何条件,判断几何条件是否满足椭圆的定义,若满足,利用椭圆的定义求轨迹方程.

疑难3如何解决椭圆的焦点三角形问题

焦点三角形及其解法

(1)椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.

(2)焦点三角形的常用公式:

焦点三角形的周长.

②在中,由余弦定理可知.

③设,焦点三角形的面积.

【例题】

(1)已知为椭圆上一点,是椭圆的焦点,,求的面积;

(2)设是椭圆上一动点,是椭圆的两个焦点,求的最小值.

思路点拨

(1)利用椭圆的定义及余弦定理解决问题.

(2)将用表示出来?利用基本不等式求最值.

解析：

(1)由已知得,

所以,从而.

在中,由余弦定理得,

即.①

由椭圆的定义得,

所以.②

由①②得.

所以.

(2)由题意得.

因此,

所以

.

因为,当且仅当时取等号,

所以,

所以的最小值为.