《向量的数量积》同步学案(学生版) (1).docxVIP

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《向量的数量积》同步学案

情境导入

如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,所做的功是多少?功是怎样的量?

自主学习

自学导引

1.已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ

2.如果a与b的夹角是π2,我们说a与b______,记作

3.向量的数量积.

(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量______叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a?b,即

(2)规定:零向量与任一向量的数量积为______.

4.如图(1),设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1

如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则

5.向量数量积的性质.

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与

(1)a?

(2)a⊥

(3)当a与b同向时,a?b=______;当a与b反向时,a?b=______.特别地

(4)|a

预习测评

1.若|m|=4,|n|=6,m

A.12 B.122 C.-122

2.已知|a|=9,|b|=62,

A.45° B.135° C.120°

3.|a|=2,|b|=4,设e是与b方向相同的单位向量,向量a与向量b的夹角为120

A.-3e B.-2e C.2e

新知探究

探究点1向量的数量积的概念

知识详解

1.两个非零向量的数量积.

已知条件

向量a,b是非零向量,

定义

数量|a‖b|cosθ叫做向量a与

记法

a

2.零向量与任一向量的数量积.

规定:零向量与任一向量的数量积均为0.

[特别提示]

1.向量的数量积a?b,不能表示为a×

2.两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.

设两个非零向量a与b的夹角为θ,则

当θ=0°时,

当θ为锐角时,cosθ

当θ为针角时,cosθ

当θ为直角时,cosθ=

当θ=180°时,

典例探究

例1已知|a|=6,|b|=5,当:(1)a//b;(2)a⊥b;(3)a

变式训练1判断下列各命题是否正确,并简要说明理由.

(1)a,b为非零向量,

(2)若a≠0,a

探究点2关于投影向量的问题

知识详解

1.投影向量的概念.

如图,设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B

2.投影向量的求法.

(1)设e是与a方向相同的单位向量,a与b的夹角为θ,则向量b在向量a方向上的投影向量为|b

(2)设e是与b方向相同的单位向量,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为|a

典例探究

例2设e是与b方向相同的单位向量,已知|a|=3,|b|=5,且a与b

A.322e B.3e C.4e

变式训练2已知|a|=2,|b|=10,a与b的夹角θ=120°,设e1是与a方向相同的单位向量,则向量b在向量a上的投影向量是______;

探究点3向量数量积的性质

知识详解

1.设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与

(1)a?

(2)a⊥

(3)当a与b同向时,a?b=|a‖b|;当a与b反向时,

(4)|a

[特别提示]

1.在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中,不能从a?b=0推出a=0或

(1)a=0,b=0;(2)a=0

2.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|?|b|.但对于向量a

典例探究

例3给出以下命题:

①a?0=0;②0?a=0;③0-AB=BA;④|a?b|=|a‖b|;⑤若a≠0

其中正确命题的序号是______.

变式训练3给出下面的关系式:①0?a=0;②a?b=b?a;③

A.1 B.2 C.3 D.4

易错易混解读

例如图,在?ABCD中,|AB|=2,|AD|=4,∠DAB=60°.设

课堂检测

1.若向量a,b满足|a|=|b|=

A.12 B.32 C.1+3

2.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,设e

A.4e B.-4e C.2e

3.如果向量a,b满足|a|=2,a?b=3,

A.13 B.33 C.3

4.在ΔABC中,AB=a

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

5.已知|b|=3,与b方向相同的单位向量为