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2023-2024学年广东省惠州中学高一(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={?2,?1,0,1,2},B={x|lnx0},则A∩B=(????)
A.{1} B.{2} C.{?2,2} D.{?1,0,1}
2.已知α,β是平行四边形的两个内角,则“α=β”是“sinα=sinβ”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m//α,n⊥β,则(????)
A.m//l B.m//n C.n⊥l D.m⊥n
4.如图,在△ABC中,AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=(m+13)
A.19 B.29 C.23
5.若函数f(x)=x2?2ax+1,x1ax,x≤1在其定义域内是一个单调递增函数,则实数a
A.(0,1] B.(0,23] C.[0,1]
6.已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积是底面积的2倍,则圆锥的体积为(????)
A.6π B.63π C.9
7.心理学家有时用函数L(t)=A(1?e?kt)测定在时间t(单位:min)内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词,此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词,则k的值约为
A.0.021 B.0.221 C.0.461 D.0.661
8.如图,O是锐角三角形ABC的外心,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=π3,若cosBsinCAB+cosC
A.12B.22
C.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知复数z=21+i(i是虚数单位),则下列命题中正确的是
A.|z|=2 B.z在复平面上对应点在第二象限
C.z?=1+i
10.已知函数f(x)=cos(2x+π6
A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于(?π12,0)对称
C.f(x)的图象关于x=5π12对称
11.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,E,F分别是棱B1B,C1
A.直三棱柱ABC?A1B1C1的体积为43
B.直三棱柱ABC?A1B1C1外接球的表面积为16π
C.若E,F分别是棱B
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知sin(π3?α)=12
13.已知|b|=3,a在b上的投影向量为12b,则
14.如图,为测塔高,在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为θ,由C向塔前进30米后到点D,测得塔顶的仰角为2θ,再由D向塔前进103米后到点E后,测得塔顶的仰角为4θ,则塔高为______米.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,2),b=(?3,1).
(1)求a+3b;
(2)设a,b的夹角为θ,求cosθ的值;
(3)若向量
16.(本小题15分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.
(1)证明:PB//平面ACM;
(2)证明:AD⊥平面PAC.
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,(a+b)(sinA?sinB)=(a?c)sinC.
(1)求角B;
(2)若△ABC外接圆的直径为23,求△ABC
18.(本小题17分)
已知向量a=(2cosx,1),b=(?cos(x+π3),12),x∈[0,π2].
(1)若
19.(本小题17分)
设A是有序实数对构成的非空集,B是实数集,如果对于集合A中的任意一个有序实数对(x,y),按照某种确定的关系f,在B中都有唯一确定的数z和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个二元函数,记作z=f(x,y),(x,y)∈A,其中A称为二元函数f的定义域.因为平面向量与有序实数对有一一对应的关系,设a=(x,y),则二元函数也可以记为f(a).
(1)已知f(x,y)=x2+y2,a=(x1,y1),b=(x2,y2),若f(a)=1,f(b)=2,x1x2+y1y2=1,求f(a+b);
(2)非零向量u=(x0,y0),若对任
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