整数的性质及应用(三)质数和合数-.docVIP

整数的性质及应用（三）质数和合数

一、质数和合数的有关性质和定理

1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。2.若质数p|ab,则必有p|a或p|b。

3.若正整数a,b的积是质数p,则必有a=p或b=p。

4.定理1.设a是一个大于1的正整数，则a的大于1的最小正因数p一定是质数。

5.定理2.若p是质数，则对任一整数a,或者p|a,或者（p,a）=1

6.定理3.质数有无穷多个。7.形如4n-1(n为正整数)的质数有无穷多个。

8.算术基本定理：任意一个大于1的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的，可以写成标准分解形式:

二、例题：

1.已知三个不同的质数a,b,c满足,求a+b+c的值。

2.若n是大于2的正整数，求证：与中至多有一个是质数。

3.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块；若选用边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x、y、n都是正整数，且（x,y）=1.试问这块地有多少平方米？

4.设a,b,c,d都是自然数，且，证明一定是合数。

5.若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数。

6.设自然数，且有，试求与的值。

7.n是不小于40的偶数，试证明：n总可以表示成两个奇合数的和。

8.若a,b,c是1998的三个不同的质因数，且，则的值是多少？

9.四个质数的倒数之和是，则这四个质数之和是多少？

10.有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是大于70的最小质数，求它们的和。

11.p是质数，仍是质数，求的值。

12.已知质数p和q满足，求的值。

三、练习题：

1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求三个数的积。

2.有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，求这三个数的和。

3.设m与n是两个大于2的质数，证明m+n是一个合数。

4.若p是一个质数，仍为质数，求证：也是一个质数。

5.设P5，证明：若P和2P+1均为质数，则4P+1为合数。

6.若P与P+3都是质数，求P除以3所得的余数。（P3）

7.若自然数，且，求的值。

8.有四个不同质因数的最小自然数是多少？

9.求200的正约数个数，并求它的所有质因数的和。

10.若，则n是质数还是合数？

11.若质数m,n满足5m+7n=129,求m+n的值。

12.一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和是多少？

13.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，求第1992个数是多少？

14.证明有无穷多个n，使多项式（1）表示合数（2）为43的倍数。

15.已知正整数p,q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求的值。

16.1与0交替排列，组成下面形式的一串数：101，10101，1010101，101010101，…请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论。

17.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：

（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

（2）能否使这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由。