2024年高中数学一轮复习讲义（新高考版）含答案解析 第5章　必刷小题10　平面向量与复数.docxVIP

2024年高中数学一轮复习讲义（新高考版）含答案解析

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必刷小题10平面向量与复数

一、单项选择题

1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于()

A．－3B．0C．3D．3或－3

答案D

解析由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.

2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案D

解析因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝eq\r(32＋42)＝5，

所以z＝eq\f(5,1－2i)＝eq\f(5?1＋2i?,?1－2i??1＋2i?)＝eq\f(5?1＋2i?,5)＝1＋2i，

所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．

3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于()

A．4B．3C．2D．0

答案B

解析因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.

4．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()

A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)

答案C

解析由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0?a·b＝－1，

∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,1×2)＝－eq\f(1,2).

∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为eq\f(2π,3).

5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n等于()

A．0B．1C．2D．3

答案C

解析如图，连接AO，由O为BC的中点可得，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，

∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，即m＋n＝2.

6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()

A．8B．－8C．8或－8D．6

答案A

解析由已知可得cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(3,5)，

∵0≤θ≤π，∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(4,5)，

∴|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝8.

7．(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为()

A．－eq\f(1,12)B.eq\f(1,12)C．1D．－8

答案B

解析如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，

由于△ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，

∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，设F(x，y)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－\f(\r(3),4)))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)，y))，∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,－