2024年高中数学一轮复习讲义（新高考版）含答案解析 第9章　§9.4　列联表与独立性检验.docxVIP

2024年高中数学一轮复习讲义（新高考版）含答案解析

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§9.4列联表与独立性检验

考试要求1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．

知识梳理

1．分类变量

为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．

2．列联表与独立性检验

(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：

X

Y

合计

Y＝0

Y＝1

X＝0

a

b

a＋b

X＝1

c

d

c＋d

合计

a＋c

b＋d

n＝a＋b＋c＋d

(2)计算随机变量χ2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．

如表为5个常用的小概率值和相应的临界值．

α

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

xα

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(√)

(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(×)

(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．(√)

(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．(×)

教材改编题

1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是()

A．均值 B．方差

C．独立性检验 D．回归分析

答案C

解析由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．

2．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为()

y1

y2

合计

x1

a

8

35

x2

11

34

45

合计

b

42

80

A.27,38 B．28,38

C．27,37 D．28,37

答案A

解析a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.

3．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．

答案0.01

解析因为6.6357.23510.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．

题型一列联表与χ2的计算

例1(1)为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：

男

女

合计

喜欢

a

b

73

不喜欢

c

25

合计

74

则a－b－c等于()

A．7B．8C．9D．10

答案C

解析根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，

补充完整2×2列联表为：

男

女

合计

喜欢

52

21

73

不喜欢

22

25

47

合计

74

46

120

∴a－b－c＝52－21－22＝9.

(2)为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表：

体育课不及格

体育课及格

合计

文化课及格

57

221

278

文化课不及格

16

43

59

合计

73

264

337

在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为()

A．1.255 B．38.214

C．0.0037 D．2.058

答案A

解析χ2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)

＝eq\f(337×?57×43－16×221?2,278×59×73×264)≈1.255.

思维升华2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．

跟踪训练1某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________.

会外语

不会外语

合计

男

a

b

20

女

6

d

合计

18

50

答案44

解析由题意得a＋b＋d＋6＝50，

所以a＋b＋d＝50－6＝44.

题型二列联表与独立性检验

例2(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准