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《椭圆》应试拓展

拓展1椭圆定义的应用与推广

1.利用椭圆的定义求椭圆的方程时,要善于识别椭圆的定义,快速写出椭圆的标准方程.

【例1】如果点在运动过程中,总满足关系式,那么点的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程.

解:因为点的轨迹方程表示动点到定点的距离之和为10,故点的轨迹为椭圆,其标准方程为.

2.椭圆的第二定义:平面内动点到定点的距离和它到定直线(定点不在定直线上)的距离之比等于常数的轨迹叫做椭圆.定点叫做椭圆的一个焦点,定直线叫做椭圆的一条准线,常数叫做椭圆的离心率.

【例2】点与定点的距离和它到直线的距离的比是,求点的轨迹方程.

解:由题意得,即,

化简可得点的轨迹方程为.

3.与两定点连线的斜率之积为或的点的轨迹为椭圆.

拓展2用待定系数法求椭圆标准方程的步骤

1.作判断:依据条件判断椭圆的焦点在轴上还是在轴上,还是都有可能.

2.设方程:依据上述判断设方程为或或且.

3.找关系:根据已知条件,建立关于或的方程组.

4.求解:解方程组,代入所设方程即为所求.

【例3】已知椭圆的两焦点的坐标分别是,且椭圆经过点,求椭圆的标准方程.

解:因为椭圆的焦点在轴上,所以设椭圆的标准方程为.

依题意,得

解得

故所求椭圆的标准方程为.

拓展3求曲线的轨迹方程

直接法求曲线的轨迹方程

直接利用条件建立之间的关系式:.即建系设点、列式、代换、化简、证明,最后的证明可以省略,必要时加以说明.

【例4】已知定点,直线相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线,求曲线的方程.

解:设动点,则.

∵,

化简得.

故曲线的方程为.

定义法求曲线的轨迹方程

先根据已知得出动点的轨迹满足某种曲线的方程,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件,也就是曲线上的点的坐标的取值范围,有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程.

待定系数法求曲线的轨迹方程

如果动点的运动规律满足我们已知的某种曲线(如圆、椭圆及后面要学的双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,确定方程中的常数,即可得到轨迹方程.

相关点法(代入法)求曲线的轨迹方程

动点依赖于另一动点的变化而变化,并且点在某已知曲线上,首先用表示出,再将代入已知曲线的方程从而得到要求的轨迹方程.

参数法求曲线的轨迹方程

当动点中的关系不易找到时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,从而得到参数方程,再消去参数得曲线的方程.

选参数时必须首先考虑制约动点的各种因素,然后再选取合适的参数,常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等.

拓展4椭圆焦点三角形的性质

椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形.焦点三角形有如下一些性质:

(1)焦点三角形的周长为.

(2)设的面积为,则,当时,即点的位置为短轴端点时,取得最大值.

(3)当点的位置为短轴端点时,最大.

(4)设,则离心率.(见拓展6)

(5)若焦点三角形内切圆的圆心为,延长交于点,则,所以(e为离心率).

拓展5椭圆的简单几何性质

标准方程

图形

顶点坐标

(±a,0),(0,±b)

(±b,0),(0,±a)

对称轴

x轴y轴

焦点坐标

(±c,0)

(0,±c)

离心率

对称中心

原点

范围

a,b,c之间的关系

a2=b2+c2;

ab,ac,b与c大小不定

通径:过椭圆的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线,该直线被椭圆截得的弦叫做通径,其长度为.

焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长.

弦长公式:设直线与椭圆有两个公共点,则弦长公式为或.

焦半径:椭圆上的点与左(下)焦点、右(上)焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径,记.

(1).

(2).

距离:椭圆上任意一点到焦点的所有距离中,长轴两端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为,最小距离为.

拓展6求椭圆离心率的方法

(1)通过已知条件列方程组,解出的值.

(2)由的关系求离心率,利用变形公式求解.

(3)由已知条件得出关于的二元齐次方程,然后转化为关于离心率的一元二次方程求解.

(4)通过取特殊值或特殊位置求出离心率.

(3)如图,已知焦点三角形的内角为与时,求离心率.

因为,所以,

所以(本公式也可化简为).

【例5】椭圆的两顶点为,且左焦点为是以为直角的直角三角形,则椭圆的离心率为()

A.

B.

C.

D.

解析:由题可知为直角三角形,其中.由勾股定理,得,即,整理得,两边同除以得.

答案:B

拓展7直线与椭圆的位置关系

(1)代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去,整理得到关于的方程.记该一元二次方程