职高数学均值定理.ppt

对于两个正实数a、b，我们把叫做a与b的，把叫做a与b的.算术平均数几何平均数讲授新课第6页,共19页，星期六，2024年，5月两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有≥当且仅当a=b时，等号成立.这个结论称为均值定理第7页,共19页，星期六，2024年，5月变式（2）≥当且仅当a=b时，等号成立.由a0、b0时，得变式（1）（积定和小）（和定积大）第8页,共19页，星期六，2024年，5月例1.已知a0,b0，且ab=16，求a+b的最小值.解：由a0,b0根据均值定理，得当且仅当a=b，即a=4时，等号成立所以a+b的最小值为8.一正二定三相等结论应用举例第9页,共19页，星期六，2024年，5月例2.已知a0,b0，且a+b=6，求ab的最大值.解：由a0,b0根据均值定理，得当且仅当a=b，即所以ab的最大值为9.a=3时等号成立一正二定三相等第10页,共19页，星期六，2024年，5月一正：函数式中各项必须都是正数;二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是定值；三相等：等号成立条件必须存在.均值定理必须满足的条件：总结第11页,共19页，星期六，2024年，5月练习巩固1、已知a0,b0，且ab=49，求a+b的最小值。2、已知a0,b0，且a+b=10，求ab的最大值。第12页,共19页，星期六，2024年，5月拓展延伸1、求证：对于任意正实数，有当且仅当时成立.2、求的最小值，并求出相应的值.第13页,共19页，星期六，2024年，5月1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？思考题2、为了围成一个面积为49的矩形小框，至少要用多长的铁丝？第14页,共19页，星期六，2024年，5月1、解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm.答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积最大，达到25.等号成立当且仅当时,由已知条件得，x+y=.据均值定理得取最大值25.第15页,共19页，星期六，2024年，5月2、解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm.答：至少要用28cm长的铁丝.等号成立当且仅当x=y==7,由已知条件得，xy=49.据均值定理得此时x+y达到最小值14，从而2(x+y)达到最小值2×14=28.第16页,共19页，星期六，2024年，5月小结1、对于任意两个正实数a、b,称为算术平均数，称为几何平均数，且，当且仅当a=b时，等号成立.3、均值定理必须满足：一正：函数式中各项必须都是正数;二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是定值；三相等：等号成立条件必须存在.2、变式应用：第17页,共19页，星期六，2024年，5月1、已知a0,b0，且ab=25，求a+b的最小值.2、已知a0,b0，且a+b=8，求ab的最大值.作业3、求的最小值，并求相应x的值.第18页,共19页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第19页,共19页，星期六，2024年，5月关于职高数学均值定理（1）若a0，则_____（2）若a0且b0,则______（3）用作差法证明不等式的步骤：1、作差2、变形（与0比较)3、定号第2页,共19页，星期六，2024年，5月一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同.问哪个正方形的面积大？S=abC=2(a+b)(1)(2)探究新知第3页,共19页，星期六，2024年，5月第一个正方形的面积是ab,可得边长为.第二个正方形