第51讲 二项式定理（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第51讲二项式定理（精讲）

题型目录一览

①二项展开式中的特定项问题

②二项式系数问题

③二项展开式中各项系数的和问题

④三项展开式的问题

⑤两个二项式乘积展开式的系数

⑥赋值法

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

1.二项式定理

一般地，对于任意正整数，都有：，

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，

其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，

2.二项式的展开式的特点：

①项数：共有项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次

数从到，每一项中，，次数和均为；

④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系

数）．

3.两个常用的二项展开式：

①（）

②

4.二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：

公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；

②字母的次数和组合数的上标相同；

③与的次数之和为．

注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．

②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．

二、二项式展开式中的最值问题

1.二项式系数的性质

=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．

=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．

=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．

=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，

则，

从而得到：．

=5\*GB3⑤最大值：

如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．

2.系数的最大项

求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．

三、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

（1）设，

二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．

①令，可得：

②令，可得：，即：

（假设为偶数），再结合①可得：

．

（2）若，则

①常数项：令，得．

②各项系数和：令，得．

注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．

【常用结论】

奇数项的系数和与偶数项的系数和

①5当为偶数时，奇数项的系数和为；

偶数项的系数和为．

（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

②当为奇数时，奇数项的系数和为；

偶数项的系数和为．

（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

若，同理可得．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一二项展开式中的特定项问题

策略方法形如(a＋b)n的展开式问题

二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：

①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．

②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．

③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．

【典例1】（单选题）已知的展开式中的常数项为，则实数（????）

A．2 B．-2 C．8 D．-8

【典例2】（单选题）二项式展开式中含x项的系数是（????）

A． B．

C． D．

【题型训练】

一、单选题

1．在的展开式中，第四项为（????）

A．160 B． C． D．

2．展开式中的常数项为－160，则a＝（????）

A．－1 B．1 C．±1 D．2

3．的展开式中的系数为（????）

A．40 B． C．80 D．

4．已知的展开式中的常数项是672，则（????）

A． B． C．2 D．1

5．二项式的展开式中的常数项为（????）

A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120

6．若展开式中含有常数项，则n的最小值是（????）

A．2 B．3 C．12 D．10

7．的展开式中的系数是126，则（????）

A．2 B．4 C．1 D．3

二、填空题

8．二项式的展开式