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《椭圆》突破提高

突破1中点弦问题

涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时,常用“点差法”“设而不求法”,并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.但在求得直线方程后,一定要代入原方程进行检验.

用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤:

(1)设点——设出弦的两端点坐标;

(2)代入——代入圆锥曲线方程;

(3)作差——两式相减,利用平方差公式把相减后的式子展开;

(4)整理——转化为斜率与中点坐标的关系式求解.

【例7】过椭圆内一点,且被这点平分的弦所在直线的方程是______.

解析:设直线与椭圆交于两点,

由于两点均在椭圆上,故,

两式相减得.

∵点是弦的中点,∴.

∴直线的方程为,即.

答案:

实破2利用圆锥曲线定义求最值

(1)借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理.

【例8】已知是椭圆内的两个点,是椭圆上的动点,求的最大值和最小值.

【分析】很容易联想到三角形三边的关系,无论三点是否共线,总有,故取不到等号.此题可利用椭圆定义合理转化得到解题思路.

解:由已知得是椭圆的右焦点,设左焦点为,根据椭圆定义得.因为||,所以,,故的最小值和最大值分别为和.

【关键技巧】涉及椭圆焦点的题目,应想到利用椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化.

(2)二元变量最值问题转化为二次函数的最值问题.

利用点在圆雉曲线上,将二元变量的最值问题转化为二次函数的最值问题来处理.

【例9】若点分别为椭圆的中心和左焦点,为椭圆上任一点,则的最大值为____

解析:设点,由题可知,则.又点在椭圆上,所以,所以.又,所以当时,取得最大值,最大值为6,即的最大值为6.

答案:6

【关键技巧】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程.设点,利用平面向量数量积的坐标表示,将用变量表示,借助椭圆方程消元,转化为二次函数的最值问题处理.

【本节与高考】

椭圆的综合问题是高考命题的一个热点,主要以解答题的形式出现,考查椭圆的定义、几何性质,直线与椭圆的位置关系，圆和椭圆的交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力.