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第01讲7.1条件概率和全概率公式
+7.2离散型随机变量分布列+均值+方差
题型一:条件概率
典型例题
例题1.(2024·福建漳州·统考模拟预测)甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动,可以从,,,四个社区中随机选择一个社区,设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”,事件为“甲和乙选择的社区不相同”,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由古典概型、条件概率计算公式即可得解.
【详解】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有(种),
事件发生的情况共有(种),事件和事件同时发生的情况共有6种,
所以.
故选:B.
例题2.(2024·全国·高三专题练习)已知盒中装有大小一样,形状相同的3个白球与7个黑球,每次从中任取一个球并不放回,则在第1次取到白球的条件下,第2次取到的是黑球的概率为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】解法一:设出事件,求出事件包含的基本事件数,根据条件概率公式进行求解;
解法二:根据题意得到在第一次取到白球的条件下,盒中还有2白、7黑共9个球,从而求出相应的概率.
【详解】解法一:设第1次抽到白球为事件A,第2次取到的是黑球为事件B,
则,,
所以.
解法二:盒中共有10个球,其中3白、7黑,在第一次取到白球的条件下,盒中还有2白、7黑共9个球,
从中任取一球,取到黑球的概率为.
故选:D
例题3.(多选)(2024·全国·模拟预测)已知,分别为随机事件A,B的对立事件,,,则(???)
A. B.
C.若A,B独立,则 D.若A,B互斥,则
【答案】ACD
【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念,以及对应的概率计算公式可以得到答案.
【详解】因为,所以A正确,B错误;
由独立事件定义,若A,B独立,则,所以C正确;
若A,B互斥,则,,,所以D正确.
故选:ACD.
精练核心考点
1.(2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末)小张?小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩,他们分别从“丹东凤凰山,鞍山千山,本溪水洞,锦州笔架山,盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩,记事件A:“两家至少有一家选择丹东风凰山”,事件B:“两家选择景点不同”.则概率(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先计算事件的概率,再利用条件概率计算即可.
【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山,即,
所以,
而有一家选择丹东凤凰山,另一家选别的景点,则,
所以.
故选:D
2.(2024·河南·模拟预测)现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球,已知某袋子中装有3个白球、2个黑球,现从袋中随机依次摸出2个球,若第一次摸出的是白球,则放回袋中;若第一次摸出的是黑球,则把黑球换作白球,放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”,事件“第二次摸球摸出白球”,则(???)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据条件概率公式概率计算方法进行计算即可.
【详解】根据题意可知,
第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率,
则,
故选:D.
3.(2024下·全国·高二随堂练习)为了给学生树立正确的劳动观,使学生懂得劳动的伟大意义,某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动,在甲被选中的情况下,乙也被选中的概率为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用条件概率的公式计算.
【详解】令事件为甲被选中,事件为乙被选中,则,,
故.
快解:令事件为甲被选中,事件为乙被选中,.
故选:B.
题型二:全概率公式
典型例题
例题1.(2024上·江西萍乡·高二统考期末)某一地区患有癌症的人占0.05,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】记事件某人是癌症患者,事件化验结果呈阳性,利用全概率公式求出的值,再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件某人是癌症患者,事件化验结果呈阳性,
由题意可知,,,
所以,
现在某人的化验结果呈阳性,则此人是癌症患者的概率为:.
故选:D
例题2.(2024上·山东德州·高二统考期末)在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将箱子关闭,也就是主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱,若用表示i号箱有奖品,用表示主持人打开i号箱子,则;.
【答案】/
【分析】分析出:若奖品在3号箱里,主持人只能打开2
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