微专题09 隐零点问题（解析版）-【高频考点】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）_1_1.docx

微专题09隐零点问题

研考题·聚焦关键词

不含参函数的“隐零点”问题的解策略：

已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，

设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.

题型一不含参函数

例1.（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数．证明：．

【答案】证明见解析

【解析】

令函数，则，所以是增函数．

因为，，

所以存在，使得，即．

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

．

因为，所以，

所以．

故．

变式:（2024·高三校考）已知函数，当时，证明：.

【答案】证明见解析.

【解析】当时，令，，求导得，

显然函数在上单调递增，令，，，即函数在上单调递增，而，则存在唯一，使得，即，因此存在唯一，使得，当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，当时，，则，（当且仅当即时，取等号，故式子取不到等号）所以当时，.

含参函数的“隐零点”问题解题策略：

已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，

设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.

题型二含参函数

例2.（重庆市西南大学附中、重庆育才中学、万州中学拔尖强基联盟2024届高三下学期二月联合考试数学试题）已知函数，其中．

（1）若，求证：在定义域内有两个不同的零点；

（2）若恒成立，求的值．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）

【解析】（1）时，，

①时，在上单调递减，所以，

所以在上单调递增，又，，

所以，使得，即在上有且仅有1个零点；

②时，由（1）知在上单调递减，

即，所以，

所以在上没有零点；

③时，，所以，

即在上单调递减，又，，

所以在上有且仅有1个零点；

综上所述，在内有两个不同的零点，.

（2）令，

由于恒成立，且，同时在上连续，

所以是的一个极大值点.

因为，所以即，

下面证明时，在上恒成立，

由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减；

所以，又，

故恒成立.

变式:（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）,，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】由，可得，

由，因为，可得，

令，则在上递减，

当时，可得，则，所以，

则，

又因为，使得，即

且当时，，即；

当时，，即，

所以在递增，在递减，所以，

由，可得，

由，可得，即，

由，可得，所以，

因为，设，则，

可知在上递增，且，

所以实数的取值范围是.

巩固能力·突破高分

1.（2023·高三校考）已知函数.当时，求证在上存在极值点，且.

【答案】证明见解析

【解析】，则，令，，由可知，时，，递增，时，，递减，在处取得最小值，

而，又记，，

故在上单调递减，故，于是，即；

，令，，记，则，则在单增，，

故在上递增，，取，则；

记，，于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取得等号，于是.于是，

由和零点存在定理可知，，使得，且，，，，所以是极小值点；由可得，，令，代入，整理，，

于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取，故，原命题得证.

2.（广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；

【答案】

【解析】因为，

由题意知，对于任意不同的，都有，

可转化为对于任意，都有，

由可转化为，令，只需

，令，在单调递减，

所以，，故在单调递减，

，

由可转化为，令，只需

，令，在单调递减，

且，，所以使，即，

即，

当时，，，故在单调递增，

当时，，，故在单调递减，

，

故.

3.（2024·高三校考）已知函数，其中．讨论的极值点的个数．

【答案】有且仅有一个极值点.

【解析】由题意知，函数的定义域为，

，

设，，显然函数在上单调递增，与同号，

①当时，，，

所以函数在内有一个零点，且，，，，

故在单调递减，在单调递增；

所以函数在上有且仅有一个极值点；

②当时，由（1）知，函数在上有且仅有一个极值点；

③当时，，，

因为，所以，，

又，所以函数在内有一个零点，

且，，，，

故在单调递减，在单调递增；

所以函数在上有且仅有一个极值点；

综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．

4.（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数．当时，不等式恒成立，求整数的最大值．

【答案】2

【解析】由题意，知对任意恒成立，

可知对任意恒成立．

设函数，只需．

对函数求导，得．

设函数，对函数求导，得，

所以函数在上单调递增．

又，

所以存在，使，即，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以，

所以．又，所以，

所以整数的最大值为2．

5.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．

（1）当时，求函数在上的