微专题10 导数中常见的放缩问题（解析版）-【高频考点】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）_1_1.docx

微专题10导数中常见的放缩问题

研考题·聚焦关键词

证明以下不等式：

(1)；(2)；(3).

【解析】（1）解：令，则有.令，即，解得；

令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，所以，即.所以.

（2）解：令，则.令，即，解得；

令，即，解得，所以在单调递增，上单调递减，所以，即，所以.

（3）解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②，因为①式与②式取等号的条件不同，所以.

题型一与有关的放缩

例1.（安徽省“皖江名校联盟”2024届高三上学期12月月考数学试题）设函数.

（1）讨论函数的单调性.

（2）设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.

【答案】（1）在区间和上都是单调递增（2）证明见解析

【解析】（1）函数的定义域是，先证明，

设，

则，在上，单调递增，

在上，单调递减，，所以.

可得，得到，等号当且仅当时成立，

所以，

注意，所以恒成立.

因此在区间，上都单调递增.

（2）由题设，，

，，

只需证明，

因为在上单调递增，显然成立.

下面证明，等价于证明，

也即证明，由（1）过程可知，当且仅当时等号成立，

，所以，故原不等式得证.

变式:（2024·高三校考）已知函数.

(1)若在上单调递增，求的值；

(2)证明：（且）.

【答案】(1)1；(2)证明见解析.

【解析】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件；当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值，

于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1.

（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，

因此当且时，，

而当时，，所以，

则，所以，.

题型二与有关的放缩

例2.（2022·高考真题）已知，则（??）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为当，

取得：，故

，其中，且

当时，，及

此时，

故，故

所以，所以，

故选：A

变式:（2023·湖南长沙·高三校考）设，，，则（??）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，所以，

所以，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，即，所以，

令，则，

所以函数在上递增，

所以，即，即，

所以，即，

综上，.

故选：A.

巩固能力·突破高分

1.（2023·福建福州·高三校考），则（??）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，，则，

所以当时，即在上单调递增，

所以，即，即，即，

令，则，

在时，，则为减函数，

∴，即；

令，，则，

故在为减函数，

∴，即；

∴，

令，则，即，∴，

所以．

故选：D．

2.（2022·高考真题）设，则（??）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

所以，即

因为，

所以，即

综上所述：，

故选：C

3.（2023·山西大同·高三校考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（??）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

设，函数定义域为，

则，

故在上为增函数，有，即，

所以，故.

设，函数定义域为，则，

，解得；，解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，取最大值，所以，即，时等号成立，

所以，即，

又，所以.

故选：D

4.（2023·贵州遵义·高三统考）已知，，，则（??）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，则，，

即在上单调递增，在上单调递减，所以，

故在R上恒成立，即，

令，

则，，

即在上单调递减，在上单调递增，所以，

故在上恒成立，即，

而，，即，

令，则，，

即在上单调递增，在上单调递减，所以，

故在上恒成立，即

令，由上知恒成立，即在R上单调递增，而，故，

所以，

故.

故选：D

5.（2023·全国·高三校考）当时，证明：恒成立.

【答案】证明见解析

【解析】由题意可知，函数的定义域为，

先证明，令，

则，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，即，

所以，，

设，其中，则且不恒为零，

所以，在上为增函数，故当时，，

所以，，

因为，故，故原不等式得证.

6.（2024·高三统考）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）证明：．

【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析.

【解析】（1）函数的定义域为，求导得，

当时，，当时，，

则函数在上递减，在上递增，

所以函数在处取得极小值，无极大值.

（2）证明：由（1）知，，即，，

因此，当且仅当时取等号，

令，，则，

，而，

所以.

7.（2023·江苏常州·高三校考）已知函数.

（1）若，求的值；

（2）证明