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专题06直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一直线与圆的位置关
(1)三种位置关系:相交、相切、相离.
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2;
②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
知识点二圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=req\o\al(2,1)(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=req\o\al(2,2)(r2>0).
方法
位置关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
dr1+r2
无解
外切
d=r1+r2
一组实数解
相交
|r1-r2|dr1+r2
两组不同的实数解
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d|r1-r2|(r1≠r2)
无解
【知识必备】
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.圆系方程
(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解)。
三、题型突破
重难点突破01直线与圆的位置关系
例1.(1)、(2022·河南·南阳市创新高级中学高二阶段练习)直线与圆相切,则的值是(????)
A. B. C.2 D.
(2)、(2022·全国·高二课时练习)直线与圆没有公共点,则a的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【变式训练1-1】.(2021·银川三沙源上游学校高一期中(文))直线与圆相切,则的值是()
A. B. C.2 D.
【变式训练1-2】.(2020·台山市华侨中学高二期中)(多选题)平行于直线且与圆相切的直线的方程是()
A. B. C. D.
重难点突破02圆的弦长问题(垂径定理)
例2.(1)、(2022·全国·高二课时练习)圆与圆的公共弦长为(????)
A.6 B. C.4 D.
(2)、(2022·全国·高二课时练习)直线l经过点P(5,5)且和圆C:相交,截得弦长为,则l的方程是______.
【变式训练2-1】、(2022·全国·高二课时练习)已知的圆心是坐标原点O,且被直线截得的弦长为6,则的方程为(????)
A. B.
C. D.
【变式训练2-2】、(2022·全国·高二课时练习)不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为,则m的值为______.
重难点突破03圆的切线问题
例3.(1)、(2022·全国·高二课时练习)一条光线从点射出,经轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为________.
(2)、(2022·安徽蚌埠·一模)过直线上的点作圆的切线,则切线长的最小值为(????)
A. B. C. D.
【变式训练3-1】、(2022·全国·高二单元测试)(多选题)垂直于直线,且与圆相切的直线的方程是(????)
A. B.
C. D.
【变式训练3-2】、(2022·江西省万载中学高一阶段练习(理))过点(3,4)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为__________.
重难点突破04圆的综合性质
例4、(1)、(2022·全国·高三专题练习)若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是______.
(2)、(2022·江苏·高二课时练习)若,分别为圆:与圆:上的动点,为直线上的动点,则的最小值为(????)
A. B.6 C.9 D.12
【变式训练4-1】、(2022·江苏·高二课时练习)若直线y=x+b与曲线x恰有一个公共点,则b的取值范围是()
A.﹣1<b≤1
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