专题08 椭圆及其方程（重难点突破）原卷版.docx

专题08椭圆及其方程

一、考情分析

二、考点梳理

知识点一椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数．

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

知识点二椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a，

－b≤y≤b

－b≤x≤b，

－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴

长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b

焦距

eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

【知识必备】

1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq\f(2b2,a).

4．AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则

(1)弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；

(2)直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).

三、题型突破

重难点题型突破01椭圆的定义及其应用

例1、（1）、（2021·全国·高二专题练习）若动点满方程，则动点M的轨迹方程为（???????）

A． B． C． D．

（2）．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．

【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（）

A． B．

C． D．

重难点题型突破02椭圆的标准方程与简单的几何性质

例2．（1）、（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示椭圆”的（????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．不充分也不必要条件

（2）、（2022·江苏·高二）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（???????）

A．的周长为4

B．的周长为8

C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1

D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3

【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变式训练2-2】、（2022·江苏·高二）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值