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专题08椭圆及其方程
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))+eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))=2a},eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集.
知识点二椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)
eq\f(x2,b2)+eq\f(y2,a2)=1(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a,
-b≤y≤b
-b≤x≤b,
-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b
焦距
eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))=2c
离心率
e=eq\f(c,a),e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
【知识必备】
1.焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|.
(1)eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
(2)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)中
(1)当P为短轴端点时,θ最大.
(2)S=eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ=b2taneq\f(θ,2)=c|y0|,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a+c).
3.焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin=eq\f(2b2,a).
4.AB为椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则
(1)弦长l=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|;
(2)直线AB的斜率kAB=-eq\f(b2x0,a2y0).
三、题型突破
重难点题型突破01椭圆的定义及其应用
例1、(1)、(2021·全国·高二专题练习)若动点满方程,则动点M的轨迹方程为(???????)
A. B. C. D.
(2).(2021·全国高二专题练习)动圆过定点,且内切于定圆:,动圆圆心的轨迹方程为________.
【变式训练1-1】、(2022·全国·高二课时练习)已知,是椭圆C的两个焦点,过且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且,则椭圆C的标准方程为(????)
A. B. C. D.
【变式训练1-2】.(2021·全国高二课时练习)已知,是圆上一动点,线段的垂直平分线交于点,则动点的轨迹方程为()
A. B.
C. D.
重难点题型突破02椭圆的标准方程与简单的几何性质
例2.(1)、(2022·江西吉安·高二期末(文))“”是“方程表示椭圆”的(????)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.不充分也不必要条件
(2)、(2022·江苏·高二)(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与交于,两点,则(???????)
A.的周长为4
B.的周长为8
C.椭圆上的点到焦点的最短距离为1
D.椭圆上的点到焦点的最短距离为3
【变式训练2-1】、(2022·全国·高二课时练习)已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【变式训练2-2】、(2022·江苏·高二)设、是椭圆的左右焦点,过的直线交椭圆于、两点,则的最大值
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