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１９８７年真题
１９８７年全国硕士研究生招生考试试题
【编者注】１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．
（试卷Ⅲ）
一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）
（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙ′＝，ｙ″＝．
（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．
（３）积分中值定理的条件是，结论是．
ｎ－２ｎ
（４）ｌｉｍｎ()＝．
→∞ｎ＋１
ｂ
（５）ｆ′（ｘ）ｄｘ＝，∫ｆ′（２ｘ）ｄｘ＝．
∫ａ
二、（本题满分６分）
１１
求极限ｌｉｍ(－ｘ)．
ｘ０
→ｘｅ－１
三、（本题满分７分）
ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），２
ｄｙｄｙ
设{求，．
ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），ｄｘｄｘ２
四、（本题满分８分）
１
计算定积分ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．
∫０
五、（本题满分８分）
设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一
周所生成的旋转体的体积．
六、证明题（本题满分１０分）
（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆ′（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．
（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇ′（ｃ）＝０，ｇ″（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．
七、（本题满分１０分）
ｄｘ
计算不定积分∫２２２２，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．
ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ
１
历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
八、（本题满分１０分）
（１）求微分方程ｘｄｙ＝ｘ－ｙ满足条件ｙ＝０的特解．
ｄｘ
ｘ＝２
（２）求微分方程ｙ″＋２ｙ′＋ｙ＝ｘｅ的通解．ｘ
九、选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）
ｃｏｓｘ
（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅ（－＜ｘ＜＋）是（）
∞∞
（Ａ）有界函数．（Ｂ）单调函数．
（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．
（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（）
（Ａ）当ｘ时为无穷大．（Ｂ）在（－，＋）内有界．
→∞∞∞
（Ｃ）在（－，＋）内无界．（Ｄ）当ｘ时有有限极限．
∞∞
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