2025版高考数学全程一轮复习课前预备案第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其几何意义导数的运算.docxVIP

第一节导数的概念及其几何意义、导数的运算

必备知识

1.导数的概念

(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx＝________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δ

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________或y′|

(3)导函数：对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f′(x)就是x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝________．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处即在点(x0，f(x0))处

的切线的斜率k0，即k0＝________．相应的切线方程为________．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝________

f(x)＝xn(n∈Q*)

f′(x)＝________

f(x)＝sinx

f′(x)＝________

f(x)＝cosx

f′(x)＝________

f(x)＝ax(a0且a≠1)

f′(x)＝________

f(x)＝ex

f′(x)＝________

f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)

f′(x)＝________

f(x)＝lnx(x0)

f′(x)＝________

4.导数的四则运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝________________．

(2)[f(x)g(x)]′＝________________．

(3)fxgx′＝____________(g(x

(4)[cf(x)]′＝____________(c为常数)．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【常用结论】

1．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切时只有一个公共点．

2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

夯实基础

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()

(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．()

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()

2．(教材改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()

A．9.1米/秒 B．6.75米/秒

C．3.1米/秒 D．2.75米/秒

3．(教材改编)曲线y＝x2＋3x

4．(易错)已知函数f(x)＝lnx－f′(1)ex＋2，则f(1)＝()

A．ee+1＋2 B．－ee+1

C．2 D．－2

5．(易错)过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为________________．

第一节导数的概念及其几何意义、导数运算

必备知识

1．(1)fx0+Δx-f

2．f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)

3．0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1

4．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

f

5．y′u·u′x

夯实基础

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．解析：因为函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，

所以h′(t)＝－9.8t＋8，所以在t＝0.5秒时的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．故选C.

答案：C

3．解析：∵y′＝2x－3x

∴y′|x＝1＝2－3＝－1.

∴所求切线方程为y－4＝－(x－1)，

即x＋y－5＝0.

答案：x＋y－5＝0

4．解析：因为f(x)＝lnx－f′(1)ex＋2，

则f′(x)＝1x－f′(1)ex

则f′(1)＝1－f′(1)e，

即f′(1)＝1e+1

则f(1)＝－ee+1＋2.故选B

答案：B

5．解析：设切点为(x0，y0)，

则y′|x＝x0＝3(x0－1)2，

∴切线方程为y－y0＝3(x0－1)2(x－x0)，

即y－(x0－1)3＝3(x0－1)2(x－x0)．

又该直线过原点，

∴－(x0－1)3＝