《余弦定理》同步学案(教师版) (1).docxVIP

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《余弦定理》同步学案

情境导入

如图所示,已知甲离学校,乙离甲且甲学校与甲乙两条路线之间的夹角为,问乙离学校多少千米?

自主学习

自学导引

1.余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的______减去这两边与它们夹角的的______积的两倍.

_______,

_______,

_______,

2.余弦定理的推论:______ ______

______

3.一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的______.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做______.

答案

1.和余弦

2.A

3.元素解三角形

预习测评

1.在中,已知,则等于()

A.1

B.

C.2

D.4

2.在中,已知,则等于()

A.

B.

C.7

D.5

3.在中,已知且,则等于()

A.

B.

C.

D.

答案

1.C

解析:

2.C

解析:∵.

3.B

解析:∵

新知探究

探究点1余弦定理及其推论

知识详解

余弦定理

公式表达

语言叙述

三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

余弦定理推论

公式表达

[特别提示]

1.适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.

2.结构特征:“平方”、“夹角”、“余弦”.

3.揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.

4.主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.

典例探究

例1在中,角的对边分别为,若,则等于()

A.4

B.

C.3

D.

解析:由三角形内角和定理可知

又由余弦定理得

所以.

答案:D

方法技巧

已知三角形两边及其夹角(或夹角的某一三角函数值)时,应先从余弦定理入手求出第三边.若题目要求其他边和角时,可以继续由余弦定理及其推论来解决,或者可以用正弦定理来解决.

变式训练1在中,内角的对边为,,且,则角为()

A.

B.

C.

D.

答案:B.

解析:中,,

∴,

∴.

又,∴.

探究点2适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题

知识详解

余弦定理适合解决的问题:

(1)已知两边及其夹角,解三角形;

(2)已知三边,解三角形.

[特别提示]

余弦定理体现的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量.

典例探究

例2在中,已知,求.

解析:由已知可得三角形的三条边是已知的,所以可以利用余弦定理的推论,求出三个角的余弦值.之后根据三角形的内角在得出每个角的具体数值.

答案:根据余弦定理,

方法技巧

已知三边求三角,可利用余弦定理的变形先求出一个角,求其余角时,可用余弦定理也可用正弦定理.

变式训练2在中,已知,求的值.

答案:由余弦定理得:

易错易混解读

例已知是钝角三角形的三边,求实数的取值范围.

错解:∵是三角形的三边,

∴∴

∴是该三角形的最大边,设其对应的角为(钝角),

则，

∴,即,解得.

又.

故的取值范围为.

错因分析:事实上,只能保证都是正数,而要表示三角形的三边,还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于第三边”.

正解:∵是三角形的三边,

∴∴

要使构成三角形,需满足

由题知是该三角形的最大边,设其对应的角为(钝角),则,

∴,即,解得.

又的取值范围是.

纠错心得:在利用余弦定理求三角形的三边时,除了要保证三边长均为正数,还要判断一下三边能否构成三角形.

课堂检测

1.在中,内角的对边分别为,若,则的最小角为()

A.

B.

C.

D.

2.在中,若,则等于()

A.

B.或

C.

D.

3.在中,已知,则边的值是()

A.8

B.

C.

D.28

4.在中,已知,且,则的值为()

A.4

B.8

C.4或8

D.无解

答案

1.A

解析:在中,∵由大边对大角可知,边所对的角最小,由余弦定理可得:,∴.

2.C

解析:∵.又.

3.

解析:由余弦定理可得:,解得.

4.C

解析:由,得,利用余弦定理可得,即,解得或.

课堂小结