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2024届江苏省盐城市高三第二次联考高三数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()
A. B. C. D.
2.设则以线段为直径的圆的方程是()
A. B.
C. D.
3.函数的值域为()
A. B. C. D.
4.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().
A.9 B.6 C. D.
5.已知直线过圆的圆心,则的最小值为()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知直线是曲线的切线,则()
A.或1 B.或2 C.或 D.或1
7.已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是()
A. B. C.2 D.3
8.设,满足约束条件,则的最大值是()
A. B. C. D.
9.已知等差数列的前n项和为,,则
A.3 B.4 C.5 D.6
10.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为()
A. B.0 C. D.
11.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对;再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数估计的值,那么可以估计的值约为()
A. B. C. D.
12.已知为非零向量,“”为“”的()
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形,若弧田的弧AB长为4π,弧所在的圆的半径为6,则弧田的弦AB长是__________,弧田的面积是__________.
14.点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点,则此点取自△PBC内的概率是____
15.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
16.(5分)函数的定义域是____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在三棱柱中,已知四边形为矩形,,,,的角平分线交于.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
18.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.
(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;
(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.
19.(12分)如图,已知在三棱台中,,,.
(1)求证:;
(2)过的平面分别交,于点,,且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为,几何体为棱柱,求的长.
提示:台体的体积公式(,分别为棱台的上、下底面面积,为棱台的高).
20.(12分)已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.
21.(12分)已知数列满足:,,且对任意的都有,
(Ⅰ)证明:对任意,都有;
(Ⅱ)证明:对任意,都有;
(Ⅲ)证明:.
22.(10分)如图,三棱柱的侧棱垂直于底面,且,,,,是棱的中点.
(1)证明:
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