2024年高考数学一轮复习课件（新高考版） 第8章　§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题.pptxVIP

§8.13圆锥曲线中探索性与综合性问题第八章直线和圆、圆锥曲线2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）

题型一探索性问题(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

假设存在点M(t,0)(t0)满足题设条件.由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点.当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝3，所以t＝－1.即M(－1,0).

因为∠QFM＝2∠QMF，

解得t＝－1.即M(－1,0).综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0).

思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

跟踪训练1(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；

由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.

(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由.

由(1)得M(2,1)，得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；设直线AB方程为y＝kx＋b，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，

题型二圆锥曲线的综合问题(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；

所以抛物线C1的方程为y2＝8x，

(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4.得y2－8my－32＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.

要使S1∶S2＝3∶13，解得m＝±1，所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件.

圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有＝0.

跟踪训练2如图，过抛物线E：y2＝2px(p0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点).(1)求抛物线E的方程；

Δ＝(k2p＋2p)2－k4p20，

显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.

(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值.并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，∴y1y2＝－2p＝－4，

∴4t＋4m＋80＝－tm，∴H也为定点.

当且仅当y1＝±2时取到最小值.故△ABH的面积的最小值为22.

课时精练

基础保分练(1)求椭圆C的方程；1234

1234

1234(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.

假设满足条件的直线l存在，因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，1234

记A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234

1234

1234满足Δ0，

(1)求椭圆C的方程；1234

又a2－b2＝c2，1234

1234(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，1234

消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，1234

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综合提升练12