2024年中考数学几何模型归纳讲练（全国通用）03 三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（教师版）.docxVIP

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专题03三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型

图1图2

8字模型（基础型）

条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。

8字模型（加角平分线）

条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D

例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（填“增加”或“减少”）度．

【答案】减少10

【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．

【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，

如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，

∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，

要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，

因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．

例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

【答案】540°

【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．

【详解】解：如图所示：

由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．

【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键

例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：；

(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．

①若，求的度数；

②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．

【答案】(1)见解析(2)①；②

【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；

（2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解．②根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可求解．

【详解】（1）证明：在中，，

在中，，

∵，∴；

（2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴，

∵①，②，

由，得：，即，

∵，∴；

②∵，∴，，

∵，，

∴，，

∴，∴），故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．

例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．

(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；

(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；

(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．

【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解

【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，，，两式相加即可得出结论；（2）根据证即可得出结论；

（3）在上取一点，使，连接交于点，证，即，同理证，然后同理（1）得，变形不等式即可得出结论．

【详