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2024届山西省长治市第九中学高三年级第二学期2月周测试数学试题卷)
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,四边形为正方形,延长至,使得,点在线段上运动.设,则的取值范围是()
A. B. C. D.
2.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,当,,不共线时,的面积的最大值是()
A. B. C. D.
3.某中学有高中生人,初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人,则的值为()
A. B. C. D.
4.已知函数,若函数的图象恒在轴的上方,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
5.已知为虚数单位,若复数,,则
A. B.
C. D.
6.已知等式成立,则()
A.0 B.5 C.7 D.13
7.执行如图所示的程序框图,当输出的时,则输入的的值为()
A.-2 B.-1 C. D.
8.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
9.在中,,,,则边上的高为()
A. B.2 C. D.
10.已知函数的最小正周期为,且满足,则要得到函数的图像,可将函数的图像()
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
11.已知复数z满足,则z的虚部为()
A. B.i C.–1 D.1
12.如图,双曲线的左,右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列满足:,,若对任意的正整数均有,则实数的最大值是_____.
14.如图,椭圆:的离心率为,F是的右焦点,点P是上第一角限内任意一点,,,若,则的取值范围是_______.
15.假设10公里长跑,甲跑出优秀的概率为,乙跑出优秀的概率为,丙跑出优秀的概率为,则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑,刚好有2人跑出优秀的概率为________.
16.已知数列满足,且,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,证明:.
18.(12分)已知数列满足且
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
19.(12分)已知的面积为,且.
(1)求角的大小及长的最小值;
(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.
20.(12分)已知的内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若的面积为,,求的周长.
21.(12分)已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.
22.(10分)正项数列的前n项和Sn满足:
(1)求数列的通项公式;
(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
以为坐标原点,以分别为x轴,y轴建立直角坐标系,利用向量的坐标运算计算即可解决.
【详解】
以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,不妨设正方形的边长为1,
则,,设,则,所以,且,
故.
故选:C.
【点睛】
本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围,考查学生的基本计算能力,本题的关键是建立适当的直角坐标系,是一道基础题.
2、A
【解析】
根据平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,利用直接法求得轨迹,然后利用数形结合求解.
【详解】
如图所示:
设,,,则,
化简得,
当点到(轴)距离最
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