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2024届陕西省咸阳百灵中学高三3月第一次模拟考试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足,则(其中为虚数单位)的最大值为()
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知抛物线的焦点为,若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上,则直线被截得的弦长为()
A. B. C. D.
3.若为虚数单位,则复数,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()
A. B. C. D.
5.已知a0,b0,a+b=1,若α=,则的最小值是()
A.3 B.4 C.5 D.6
6.“”是“函数的图象关于直线对称”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,若点,则的最小值为()
A. B. C. D.
8.年某省将实行“”的新高考模式,即语文、数学、英语三科必选,物理、历史二选一,化学、生物、政治、地理四选二,若甲同学选科没有偏好,且不受其他因素影响,则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A. B. C. D.
9.圆心为且和轴相切的圆的方程是()
A. B.
C. D.
10.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()
A.若,,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
11.已知集合,,则中元素的个数为()
A.3 B.2 C.1 D.0
12.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.点到直线的距离为________
14.定义在R上的函数满足:①对任意的,都有;②当时,,则函数的解析式可以是______________.
15.从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是________(结果用最简分数表示)
16.已知实数,满足约束条件,则的最小值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆:,不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于,两点.
(Ⅰ)若线段的中点坐标为,求直线的方程;
(Ⅱ)若直线过点,点满足(,分别为直线,的斜率),求的值.
18.(12分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,证明.
19.(12分)如图,在中,角的对边分别为,且满足,线段的中点为.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)已知,求的大小.
20.(12分)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.
(Ⅰ)求证:平面平面.
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.
21.(12分)根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了242倍多,综合国力大幅提升.
将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为;表示全国GDP总量,表中,.
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
(1)根据数据及统计图表,判断与(其中为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由),并求出关于的回归方程.
(2)使用参考数据,估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,.
参考数据:
4
5
6
7
8
的近似值
55
148
403
1097
2981
22.(10分)设复数满足(为虚数单位),则的模为______.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点
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