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专题08解析几何小题综合
一、单选题
1.(2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是,则该双曲线的离心率为()
A.2 B. C. D.
【答案】A
【分析】确定抛物线的焦点坐标及双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离求得关系,即可得双曲线离心率.
【详解】抛物线即的焦点坐标为,双曲线的渐近线方程为,即,
所以点到直线的距离为,则
则双曲线的离心率为.
故选:A.
2.(2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模)点F是抛物线的焦点,A为双曲线C:的左顶点,直线AF平行于双曲线C的一条渐近线,则实数b的值为(????)
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】B
【分析】由题可得坐标,根据可得答案.
【详解】由题,,则.因直线AF平行于双曲线C的一条渐近线,则.
故选:B
3.(2023·天津·校联考一模)已知双曲线的焦点为,,抛物线的准线与交于M,N两点,且为正三角形,则双曲线的离心率为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】求出抛物线准线方程,进而得到,由等边三角形得到边长之间的比例关系,得到齐次式,化为,求出离心率.
【详解】的准线方程为,经过点,
中,令得,解得,
故,
因为为正三角形,所以,
即,联立,解得,
方程两边同时除以得,解得或(舍去),
故双曲线的离心率为.
故选:A
4.(2023·天津南开·统考二模)已知拋物线的准线过双曲线的左焦点,点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点,若到抛物线焦点的距离为5,则双曲线的方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】由抛物线的标准方程求出准线方程即可求出双曲线的左焦点,即可求;由为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点,到抛物线焦点的距离为5,可求出点的坐标,把点代入双曲线的渐近线方程即可得出与相等,再根据即可求解.
【详解】
由题意知,拋物线的准线方程为,所以双曲线的左焦点坐标为,所以双曲线的.
又因为点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点,若到抛物线焦点的距离为5,所以,所以,代入抛物线方程即可得.
因为在双曲线的渐近线方程上,所以,又因为双曲线中,,所以,
所以双曲线的方程为:.
故选:D
5.(2023·天津河西·统考一模)已知抛物线,分别是双曲线的左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的右焦点,与双曲线的渐近线交于点,若,则双曲线的标准方程为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由抛物线方程确定准线,即知,再由双曲线的渐近线为,令,结合已知有,进而求出双曲线参数,即可得方程.
【详解】由题设,抛物线准线为,则,,
双曲线的渐近线为,不妨令,
又,易知:△为等腰直角三角形,即,
所以,即,又,可得,
故双曲线为.
故选:A
6.(2023·天津滨海新·统考三模)已知双曲线:,抛物线:的焦点为,准线为,抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为,且在第一象限,过作的垂线,垂足为,若直线的倾斜角为,则双曲线的离心率为(????)
A. B. C. D.2
【答案】B
【分析】根据给定条件,结合抛物线的定义求出点的坐标,进而求出即可求解作答.
【详解】抛物线:的焦点为,准线为:,令交于点,即有,
由,直线的倾斜角为,得,则,,
又,则为正三角形,,因此点,
双曲线:过点的渐近线为,于是,解得,
所以双曲线的离心率.
故选:B
7.(2023·天津·校联考模拟预测)设、分别为双曲线(,)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意首先求得渐近线方程,然后结合渐近线方程确定其与准线方程的交点坐标,最后求解三角形的面积即可.
【详解】依题意,可知是一个等腰三角形,
在直线的投影是其中点,由勾股定理可知|
根据双曲定义可知,整理得,
代入整理得,
所以
所以双曲线渐近线方程为,即,
抛物线的准线方程为,
渐近线与抛物线的准线的交点坐标为:,,
的面积.
所以双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为.
故选:B.
8.(2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,则双曲线的标准方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】确定抛物线焦点为,且,根据距离得到,得到双曲线方程.
【详解】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,
故抛物线的准线方程为,即抛物线焦点为,
渐近线方程过,则,
双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是,则左顶点为,即.
故双曲线方程为.
故选:B.
9.(2023·天津
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