专题08 解析几何小题综合-【冲刺双一流之小题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之小题必刷满分冲刺 （天津专用）解析版.docx

专题08解析几何小题综合

一、单选题

1．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】确定抛物线的焦点坐标及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求得关系，即可得双曲线离心率.

【详解】抛物线即的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，

所以点到直线的距离为，则

则双曲线的离心率为.

故选：A.

2．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【分析】由题可得坐标，根据可得答案.

【详解】由题，，则.因直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则.

故选：B

3．（2023·天津·校联考一模）已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出抛物线准线方程，进而得到，由等边三角形得到边长之间的比例关系，得到齐次式，化为，求出离心率.

【详解】的准线方程为，经过点，

中，令得，解得，

故，

因为为正三角形，所以，

即，联立，解得，

方程两边同时除以得，解得或（舍去），

故双曲线的离心率为.

故选：A

4．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由抛物线的标准方程求出准线方程即可求出双曲线的左焦点，即可求；由为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，到抛物线焦点的距离为5，可求出点的坐标，把点代入双曲线的渐近线方程即可得出与相等，再根据即可求解.

【详解】

由题意知，拋物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点坐标为，所以双曲线的.

又因为点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，所以，所以，代入抛物线方程即可得.

因为在双曲线的渐近线方程上，所以，又因为双曲线中，，所以，

所以双曲线的方程为：.

故选：D

5．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的右焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线方程确定准线，即知，再由双曲线的渐近线为，令，结合已知有，进而求出双曲线参数，即可得方程.

【详解】由题设，抛物线准线为，则，，

双曲线的渐近线为，不妨令，

又，易知：△为等腰直角三角形，即，

所以，即，又，可得，

故双曲线为.

故选：A

6．（2023·天津滨海新·统考三模）已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.

【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有，

由，直线的倾斜角为，得，则，，

又，则为正三角形，，因此点，

双曲线：过点的渐近线为，于是，解得，

所以双曲线的离心率.

故选：B

7．（2023·天津·校联考模拟预测）设、分别为双曲线（，）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意首先求得渐近线方程，然后结合渐近线方程确定其与准线方程的交点坐标，最后求解三角形的面积即可.

【详解】依题意，可知是一个等腰三角形，

在直线的投影是其中点，由勾股定理可知|

根据双曲定义可知，整理得，

代入整理得，

所以

所以双曲线渐近线方程为，即，

抛物线的准线方程为，

渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，

的面积.

所以双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为.

故选：B.

8．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】确定抛物线焦点为，且，根据距离得到，得到双曲线方程.

【详解】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，

故抛物线的准线方程为，即抛物线焦点为，

渐近线方程过，则，

双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是，则左顶点为，即.

故双曲线方程为.

故选：B.

9．（2023·天津