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8.6.2直线与平面垂直
A级必备知识基础练
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
则能保证该直线与平面垂直的是()
A.①③ B.①②
C.②④ D.①④
2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为()
A.a∥b B.a⊥b
C.a,b相交不垂直 D.a,b异面不垂直
3.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是()
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
4.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()
A.30° B.45°
C.60° D.90°
6.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法正确的是()
A.若a⊥α,a⊥β,则α∥β
B.若a⊥α,b⊥α,则a∥b
C.若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α∥β
D.若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a∥b
7.点A,B到平面α的距离分别为4cm和6cm,则线段AB的中点M到平面α的距离为.?
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为.?
B级关键能力提升练
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)?
10.如图,在三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是正三角形,AA⊥底面ABC,且AB=1,AA=2,则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为.?
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.
12.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为A1C1的中点,CE⊥AC1.
(1)证明:CE⊥平面AB1C1;
(2)若C1E=3,AA1=6,AB=2BC,求点E到平面AB1C的距离.
参考答案
8.6.2直线与平面垂直
1.A三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边、正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是①③.
2.B由b∥α,过b作平面β,使α∩β=c,则b∥c,且c?α.∵a⊥α,∴a⊥c.∴a⊥b.
3.C取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又因为BD,AC异面.故选C.
4.C因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.
5.C如图所示,连接AC.
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.
∵AC=2,PA=6,
∴tan∠PCA=PAAC
∴∠PCA=60°.
6.AB对于选项A,若a⊥α,a⊥β,由线面垂直的性质及面面平行的定义可得α∥β,故A正确;对于选项B,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质定理可得a∥b,故B正确;对于选项C,若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故C错误;对于选项D,若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a与b可能平行、相交或异面,故D错误.故选AB.
7.1cm或5cm当A,B在平面α同侧时,由梯形中位线定理可得点M到平面α的距离为5cm;当A,B在平面α异侧时,由相似三角形列比例式可得距离为1cm.
8.30°如图所示,连接B1D1,
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,
则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.
在Rt△BD1B1中,tan∠BD1B1=BB
则∠BD1B1=30°.
9.垂直∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.
∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1.
又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.
10.1510
∵底面△ABC是正三角形,
∴CD⊥AB.
∵AA⊥
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