（人教2019版）数学选修1 第3章 《圆锥曲线的方程》大单元教学设计.docx

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3.1椭圆（单元教学设计）

一、【单元目标】

（1）认识圆锥曲线在现实中的应用背景，理解其在描述自然现象与解决实际问题中的重要价值．

（2）通过具体情境，抽象并理解椭圆的形成过程，熟练掌握椭圆的定义、标准方程以及其基本的几何特性．

（3）在学习椭圆及其方程的过程中，深化对数形结合思想的理解和应用．

（4）初步掌握椭圆在实际问题中的简单应用方法．

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

在椭圆的教学前进行学情分析，发现学生已具备基本的几何与代数基础，对直线、圆等几何图形有一定的认知．然而，椭圆作为圆锥曲线的基础，其定义、标准方程及几何性质相对抽象，学生可能在理解上存在困难．特别是椭圆的离心率、焦点等概念，需要较强的空间想象能力和逻辑推理能力．因此，在教学中应注重直观演示和实例分析，通过数形结合的方法，引导学生逐步理解和掌握椭圆的相关知识．同时，考虑到学生的个体差异，需采用分层教学，确保每位学生都能在原有基础上获得提升．

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约4课时

教学重点：椭圆的几何特征，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质．

教学难点：椭圆几何的特征，椭圆标准方程的推导．

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景：在之前的学习中，我们已经掌握了坐标法的基础知识．17世纪时，笛卡尔出于对普适性方法的渴望，创立了解析几何．他追求的是构建一个能够解决所有几何问题并给出一般性解法的体系．这一创新过程，是将几何、代数以及一般变量概念相融合，从而催生了坐标法．因此，解析几何不仅是一门学科，更蕴含着深厚的“方法论”意义．本章，我们将继续运用坐标法，进一步探索和深化对这一方法论的理解，明确“解析几何作为一种方法论”的核心地位．

环节二、抽象概念，内涵辨析

1．椭圆的定义

问题1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

【破解方法】椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．

【归纳新知】

椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．

知识点诠释：

若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形．

2．椭圆的标准方程

问题2：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

【破解方法】由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．

设（），为椭圆上任意一点，则有．

（2）点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

．

（3）代数方程

，

即：．

（4）化简方程

由可得，则得方程

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里．

【归纳新知】

椭圆的标准方程：

（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

知识点诠释：

（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；

（3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

（4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

3．椭圆的几何性质

问题3：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

【破解方法】先用“几何眼光”进行观察，整体把握椭圆的简单几何性质．

【归纳新知】

椭圆的简单几何性质

我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质

椭圆的范围

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．

椭圆的对称性

对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．

椭圆的顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．

③线段，分别叫做椭圆的长轴和