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2024届上海市宝山区上海大学市北附属中学高三下学期“一诊”模拟数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在中,“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知是双曲线的左、右焦点,若点关于双曲线渐近线的对称点满足(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
3.在展开式中的常数项为
A.1 B.2 C.3 D.7
4.若θ是第二象限角且sinθ=,则=
A. B. C. D.
5.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()
A.-2 B.-4 C.3 D.-3
6.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是全等的直角三角形,则该几何体的各个面中,最大面的面积为()
A.2 B.5 C. D.
7.复数为纯虚数,则()
A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i
8.执行如图所示的程序框图,则输出的()
A.2 B.3 C. D.
9.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
10.设函数,则函数的图像可能为()
A. B. C. D.
11.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()
A. B. C. D.
12.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()
A.点M在圆C上 B.点M在圆C外
C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为________.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a=_______.
15.函数在区间内有且仅有两个零点,则实数的取值范围是_____.
16.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在极坐标系中,已知曲线,.
(1)求曲线、的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;
(2)若曲线、交于、两点,求两交点间的距离.
18.(12分)已知中,,,是上一点.
(1)若,求的长;
(2)若,,求的值.
19.(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.
()求与平面所成角的正弦.
()求二面角的余弦值.
20.(12分)已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.
21.(12分)已知函数,不等式的解集为.
(1)求实数,的值;
(2)若,,,求证:.
22.(10分)已知函数.
(1)求的极值;
(2)若,且,证明:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
通过列举法可求解,如两角分别为时
【详解】
当时,,但,故充分条件推不出;
当时,,但,故必要条件推不出;
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题
2、B
【解析】
先利用对称得,根据可得,由几何性质可得,即,从而解得渐近线方程.
【详解】
如图所示:
由对称性可得:为的中点,且,
所以,
因为,所以,
故而由几何性质可得,即,
故渐近线方程为,
故选B.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的知识,考查了双曲线渐近线方程,由题意得出是解题的关键,属于中档题.
3、D
【解析】
求出展开项中的常数项及含的项,问题得解。
【详解】
展开项中的常数项及含的项分别为:
,,
所以展开式中的常数项为:.
故选:D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想,考查计算能力,属于基础题。
4、B
【解析】
由θ是第二象限角且sinθ=知:,.
所以.
5、D
【解析】
设,,设:,联立方程得到,计算
得到答案
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