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圆中最值问题10种求法

圆中最值的十种求法

在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无

策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：

一、利用对称求最值

1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小

值.

[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.

解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P

连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E

在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°

在Rt△ODE中cos30°=

即DE=2×cos30°=所以CD=2DE=2

即PA+PC的最小值为2.

二、利用垂线段最短求最值

2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A

于点Q,则PQ长度的最小值为.

[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ.在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据

垂线段最短易求PA的最小值为2。

解:连接PA、QA

因为PQ切⊙A于点Q所以PQ⊥AQ

在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2

即PQ=

又因为A(－3,－2）,根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2

所以PQ的最小值=

三、利用两点之间线段最短求最值

3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧

面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为()

A．B．2C．3D．3

［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面

图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.

解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB

圆中最值问题10种求法

根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6

因为4π=所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB

所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PBPD=DB=3

在Rt△PAD中，AD=，故选C。

四、利用直径是圆中最长的弦求最值

4．如图:半径为2。5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB

上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q,

(1）求∠P的正切值；

(2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；

当点P运动到什么位置时,CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.

[分析］：易证明△ACB∽△PCQ,所以，即CQ=PC。当PC最大时,CQ最大，而PC是⊙O的动弦，当PC是

⊙O的直径时最大。

五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值

5．如图:已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，（B、C两点除外),求

△ABC面积的最大值。

圆中最值问题10种求法

［分析］：设BC边上的高为h

因为S△ABC=BCh=×2h=h

当h最大时S△ABC最大,当点A在优弧的中点时h最大。

解：当点A为优弧的中点时,作AD⊥BC于D

连接BO即BD=CD=

在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－（)2=1

所以OD=1所以AD=2+1=3