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上海市黄浦区卢湾高级中学2024-2025学年高三上10月月考数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.已知全集,集合,则________.
2.函数的定义域为__________.
3.椭圆的焦距为________.
4.已知负实数满足,则的最大值为____________.
5.如果圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为_______.
6.二项式展开式中常数项为______.
7.在中,已知,则此三角形最大内角度数为______.
8.设向量、满足,则在方向上的投影向量是__________.
9.若曲线上点处的切线平行于直线,则点的坐标是________.
10.设为实常数,是定义在上的奇函数,且当时,.若对一切成立,则的取值范围是_____.
11.设,是以为周期函数,,若函数,的值域为,则函数,的值域为________.
12.已知数列的通项公式是,记为在区间内项的个数,则使得不等式成立的的最小值为______.
二.选择题(本大题共4题,第13、14题各4分,第15、16题各5分,共18分)
13.“”是“”的()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.已知为实数,(为虚数单位)是关于的方程的一个根,则()
A.9 B.7 C.5 D.4
15.已知函数.若存在,,使得,则的最大值为()
A. B. C. D.
16.在平面直角坐标系中,定义为两点,“切比雪夫距离”,又设点与直线上任意一点,称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”,记作,给定下列两个命题:
①已知点,直线,则;
②定点、,动点满足则点的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点;下列说法正确的是()
A.命题①成立,命题②不成立 B.命题①不成立,命题②成立
C.命题①②都成立 D.命题①②都不成立
三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)
17.如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为的中点,,直线与平面所成的角为.
(1)求四棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成的角的大小.
18.已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调减区间;
(2)若,求值域.
19.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆,某学校开展了航天知识竞赛活动,共有100人参加了这次竞赛,已知所有参赛学生的成绩均位于区间,将他们的成绩(满分100分)分成五组,依次为、、、、,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求出的值,并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数;
(2)采用按比例分配的分层抽样的方法,从竞赛成绩在(即第四、五组内)的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长,求这名组长的竞赛成绩在内的概率.
20.已知椭圆的离心率为,其左右焦点为、,斜率为1的直线经过右焦点,与椭圆交于不同的两点、,的周长为12.
(1)求椭圆方程;
(2)求的面积;
(3)过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于、两点,在轴上是否存在一定点,使恰为的平分线?.
21.对于函数的导函数,若在其定义域内存在实数和,使得成立,则称是“跃点”函数,并称是函数的“跃点”.
(1)若函数是“跃点”函数,求实数的取值范围;
(2)若函数是定义在上的“1跃点”函数,且在定义域内存在两个不同的“1跃点”,求实数的取值范围;
(3)若函数是“1跃点”函数,且在定义域内恰存在一个“1跃点”,求实数的取值范围.
上海市黄浦区卢湾高级中学2024-2025学年高三上10月月考数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.已知全集,集合,则________.
【答案】
【分析】根据补集的定义计算可得.
【详解】解:因为全集,集合,
所以.
故答案为:
2.函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】利用对数函数定义列出不等式,求解不等式作答.
【详解】函数中,,即,解得,
所以函数的定义域为.
故答案为:
3.椭圆的焦距为________.
【答案】
【分析】根据椭圆的基本性质计算可得.
详解】椭圆,即,所以,,
则,所以,则焦距为.
故答案为:
4.已知负实数满足,则的最大值为____________.
【答案】
【分析】将改写成,即可利用基本不等
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