2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三上学期10月月考数学试卷含详解.docx

上海市黄浦区卢湾高级中学2024-2025学年高三上10月月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知全集，集合，则________．

2.函数的定义域为__________.

3.椭圆的焦距为________．

4.已知负实数满足，则的最大值为____________.

5.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______.

6.二项式展开式中常数项为______.

7.在中，已知，则此三角形最大内角度数为______．

8.设向量、满足，则在方向上的投影向量是__________.

9.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.

10.设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是_____.

11.设，是以为周期函数，，若函数，的值域为，则函数，的值域为________.

12.已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为______.

二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）

13.“”是“”的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

14.已知为实数，（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（）

A.9 B.7 C.5 D.4

15.已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（）

A. B. C. D.

16.在平面直角坐标系中，定义为两点，“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：

①已知点，直线，则；

②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（）

A.命题①成立，命题②不成立 B.命题①不成立，命题②成立

C.命题①②都成立 D.命题①②都不成立

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）

17.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

18.已知函数

（1）求函数的最小正周期和单调减区间；

（2）若，求值域.

19.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；

（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率.

20.已知椭圆的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点、，的周长为12.

（1）求椭圆方程；

（2）求的面积；

（3）过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线？.

21.对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.

（1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；

（2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；

（3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围.

上海市黄浦区卢湾高级中学2024-2025学年高三上10月月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知全集，集合，则________．

【答案】

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】解：因为全集，集合，

所以.

故答案为：

2.函数的定义域为__________.

【答案】

【分析】利用对数函数定义列出不等式，求解不等式作答.

【详解】函数中，，即，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

3.椭圆的焦距为________．

【答案】

【分析】根据椭圆的基本性质计算可得.

详解】椭圆，即，所以，，

则，所以，则焦距为.

故答案为：

4.已知负实数满足，则的最大值为____________.

【答案】

【分析】将改写成，即可利用基本不等