《总体离散程度的估计》同步学案(教师版) (1).docxVIP

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《总体离散程度的估计》同步学案

情境导入

下面是王顺、王雨两名同学五次考试的数学成绩.

王顺

83

95

73

74

100

王雨

99

63

83

97

83

现在要从两个人中挑选一人参加某市举办的数学竞赛.王顺说:“我的成绩好,这一次我是100分.”王雨说:“那你第一次才考了83分,我可是99分.”两个人争执不休.如果让你做决定,你会选谁参加数学竞赛呢?

自主学习

自学导引

1.如果总体中所有个体的变量值分别为,总体平均数为,则称________为总体方差.________为总体标准差.与总体均值类似,总体方差也可以写成加权的形式,如果总体的个变量值中,不同的值共有个,不妨记为,其中出现的频数为,则总体方差为________.

2.如果一个样本中个体的变量值分别为,样本平均数为,则称________为样本方差,________为样本标准差.

3.标准差刻画了数据的________,标准差越大,数据的离散程度________;标准差________,数据的离散程度________.显然,在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中,一般多采用标准差.

答案:

2.

3.离散程度或波动幅度越大越小越小

预习测评

1.若样本的平均数是10,方差为2,则对于样本,下列结论正确的是()

A.平均数为10,方差为2

B.平均数为11,方差为3

C.平均数为11,方差为2

D.平均数为10,方差为3

2.下列说法正确的是()

A.在两组数据中,平均值较大的一组方差较大

B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均值的波动大小

C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和

D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高

3.10名学生在一次数学考试中的成绩分别为,,要研究这10名学生成绩的平均波动情况,则最能说明问题的是()

A.频率

B.平均数

C.众数

D.方差

4.从总体中抽取一个样本是,则总体方差的估计值是_________.

5.甲、乙两人在相同的条件下练习射击,每人打5发子弹,命中的环数如下:

甲:6,8,9,9,8;

乙:10,7,7,7,9.

则两人的射击成绩较稳定的是________.

答案:

1.

解析:若的平均数为,方差为,那么的平均数为,方差为.

2.

解析:中,平均值和方差是数据的两个特征量,不存在这种关系;C中,求和后还需取平均数;D中,方差越大,射击越不平稳,水平越低.

3.D

解析:方差是描述数据平均波动情况的统计量,所以要研究这10名学生成绩的平均波动情况,则最能说明问题的是方差.

4.2

解析:从总体中抽取一个样本是,样本平均数为,所以样本方差为2,故总体方差的估计值是2.

5.甲

解析:,所以射击成绩较稳定的是甲.

新知探究

探究点1极差、方差和标准差

知识详解

极差:即一组数据中最大值与最小值的差.

方差:.

[特别提示]

1.方差的概念是在“平均距离”的基础上得来的.

假设一组数据是,用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即

作为到的“距离”.可以得到这组数据到的“平均距离”为

为了避免式中含有绝对值,通常改用平方来代替,即

2.平均数反映了数据取值的平均水平,方差和标准差

反映了数据的离散程度或波动幅度.方差,标准差越大,数据的离散程度越大,波动幅度越大;方差、标准差越小,数据的离散程度越小,波动幅度越小.

典例探究

例1计算数据的方差和标准差(标准差结果精确到0.1).

解析:按方差和标准差的公式进行计算.

答案:①;

②计算,得各数据为,;

③计算,得各数据为,;

④计算方差:;

⑤计算标准差:.

所以这组数据的方差为5.5,标准差约为2.3.

变式训练1样本数据101，98，102，100，99的标准差为()

A.

B.0

C.1

D.2

答案:

解析:,所以.

例2某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训,他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下:

甲:9582888193798478

乙:8392809590808575

试比较哪个工人的成绩较稳定.

解析:先根据公式分别求出甲、乙两名工人测试成绩的方差,再比较方差,方差小的那个工人的成绩较稳定.

答案:,

因为,

所以甲的成绩较稳定.

变式训练2甲、乙两台机床同时加工直径为的零件,为了检验质量,各从中抽取6件进行测量,分别记录数据如下:

甲:9910098100100103

乙:9910010299100100