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2024年高考押题预测卷03【全国卷】

数学（文科）·参考答案

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

C

A

A

C

D

B

B

B

C

B

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．14．/15．16．

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分.

17．（12分）

【详解】（1）平均数，

由，，

故中位数位于，设中位数为，则有，解得,

即平均数，中位数；

（2），

故有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关.

18．（12分）

【详解】（1）因为成等比数列，且，

所以，由，解得，

所以.

（2）由，

得，

由，有，所以，得.

19．（12分）

【详解】（1）在等腰梯形中，因为，

所以，，

所以，所以．

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面．

又平面，所以．

又平面，所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）如图，过点作于点，由（1）可知平面平面，

又平面平面平面，所以平面，故．

在中，，所以．

在中，，所以．

又，所以，即四棱锥的高为1．

由题意知，梯形的高为，所以梯形的面积为，

所以四棱锥的体积为．

（12分）

【详解】（1）由可得，

则，所以曲线在点处的切线斜率为，

又因为，所以切线方程为：，即.

所以.

（2）要证明，只要证，

设，则，

令，则，

所以在上单调递减，又，

所以当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

所以，所以.

21．（12分）

【详解】（1）由题意知，

所以的方程为

直线的倾斜角为，过点直线的方程为

设，联立，

得

与互相垂直的倾斜角为由对称性可知

??

（2）方法一：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得①

联立得②

联立，

整理得

是的中点③

由②③得，即④

同理联立得⑤

由①④⑤得

⑥

联立，

得

取中点，所以⑦

由⑥⑦得与重合，即是中点.

方法二：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为

由互相垂直可得

设的坐标分别为

联立，

得，又

是的中点

整理可得的中点

又直线恒过定点，

，

同理

三点共线

所以的中点在上，又上的点在上

所以与重合，即是中点

方法三：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为

由互相垂直可得①

联立得，所以②

设的坐标分别为，代入得

两式相减得，

变形为，即③

由②③得，即④

同理联立得，

所以⑤

由①④⑤得，

所以⑥

取中点，同理可证⑦

由⑥⑦得.

结合均在直线上，所以与重合，即是中点.

??

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

22．（10分）

【详解】（1）由题设曲线的参数方程，消参得，

由，且得，，化简得，

C的普通方程为，l直角坐标方程为.

（2）当时，，易知，设，

可得，（a是参数），

消参得方程为且，

则圆心距离得，

则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组，

解得或，故坐标为.

23．（10分）

【详解】（1）不存在，，，使得.理由如下：

因为，，都是正数，且，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

即的最小值为，

所以不存在，，，使得.

（2）因为

，当且仅当时等号成立，

所以.