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压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总
命题预测
本专题考查类型主要涉及点等式与基本不等式的内容,其中涉及了基本不等式与三角函数,正余弦定理,解析几何,集合,函数等内容的结合。
预计2024年后命题会在上述几个方面进行,尤其是多圆不等式的考查。
高频考法
题型01多元不等式最值、取值范围问题
题型02基本不等式提升
题型03基本不等式与三角函数结合
题型04基本不等式与解析几何结合
题型05基本不等式与向量结合
题型06基本不等式新考点
题型07基本不等式与正余弦定理结合
题型08指对函数与不等式
题型09基本不等式与立体几何结合
题型10基本不等式与集合、函数新定义
题型11不等式与数列结合
题型12基本不等式与函数结合
题型13不等式新考点
01多元不等式最值、取值范围问题
利用基本不等式求最值时,要从整体上把握运用基本不等式,有时可乘以一个数或加上一个数,以及“1”的代换等应用技巧.
1.(2024·贵州·三模)以maxMminM表示数集M中最大(小)的数.设a0,b0,
【答案】3
【分析】
由a2c+b2c=1,得
【详解】由a2c+
设max1a,
由3
≥33
当且仅当a=
所以minmax
故答案为:32
【点睛】关键点点睛:设max1a,1b,
2.(2022·浙江嘉兴·模拟预测)已知正数a,b满足a+b=1,c∈
【答案】62-
【分析】把给定条件两边平方,代入结论构造基本不等式,再分析计算,并求出最小值作答.
【详解】由a+b=1,得a
则3a
≥6c2+1+3(
所以当a=13,b
故答案为:6
【点睛】思路点睛:利用基本不等式求最值时,要从整体上把握运用基本不等式,有时可乘以一个数或加上一个数,以及“1”的代换等应用技巧.
3.(多选)(2024·浙江·二模)已知正实数a,b,c,且abc,x,y,z为自然数,则满足xa-b+y
A.x=1,y=1,z=4 B.x=1
C.x=2,y=2,z=7 D.x=1
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到xa-b+
【详解】要满足xa-b
其中正实数a,b,c,且abc,x,
x
=
≥
=x
当且仅当b-cx
观察各选项,故只需x+y2
A选项,x=1,y=1,z=4时,1
B选项,x=1,y=2,z=5时,1
C选项,x=2,y=2,z=7时,2
D选项,x=1,y=3,z=9时,1+
故选:BC.
4.(2024·河北邯郸·三模)记min{x,y,z}表示x,y,z中最小的数.设a0
【答案】2
【分析】分a是否大于1b进行讨论,由此即可简化表达式,若a≤1b,则可以得到mina,1a+3b≤2,并且存在
【详解】若a≤1b,则ab
因为a1a+3b=1+3ab≤4
所以mina,1a+3b≤2
所以mina,1
若a1b,则ab
因为1b1a+3b=1
所以mina
综上,mina,1
故答案为:2.
【点睛】关键点点睛:关键是分a是否大于1b进行讨论,结合不等式的性质即可顺利得解
5.(2024·四川德阳·模拟预测)已知正实数x,y,z满足x2+xy+yz
【答案】4
【分析】
因式分解得到x+z=6
【详解】因为x,
故x2
即xx
3
=2x
当且仅当2x+y+1=
所以3x+2y
故答案为:4
02基本不等式提升
在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
6.(2024·全国·模拟预测)若实数a,b,c满足条件:ea-b+c+e
【答案】2
【分析】由基本不等式可得ea-2≤a-1.利用导数证明不等式ex≥x+1,进而
【详解】由基本不等式,得2e
即ea-2≤a-
设f(x)=
所以函数f(x)在(-
所以f(x)min=
令x=a-2,得
解得a=2,由a-b
所以abca4+
故abca4+
故答案为:2
7.(2024·全国·模拟预测)已知x0,y0且x+y=1
A.15 B.25 C.35
【答案】B
【分析】由基本不等式和x+y=1可得0xy≤1
【详解】因为x+y=1,所以x
所以0xy
因为11+x2
令t=3-2xy,则t∈
所以11+
由对勾函数y=x+5x
所以当t=52
所以x2
故选:B.
8.(2024·江苏苏州·模拟预测)已知“a0,b0”与“a+b=1”互为充要条件,则“1a+4
【答案】23
【分析】根据a+b
【详解】1a
当且仅当ba=4
1
=2+a
当且仅当a2+b
解得a=3+3
所以1a+4a
故答案为:23.
9.(2023·全国·模拟预测)已知x∈4,+∞,y∈0,5,z∈0,1
【答案】2+22/
【分析】将2x+y+4zx+2z+2x+zy
【
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