压轴题03不等式压轴题13题型汇总 （解析版）.docx

压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总

命题预测

本专题考查类型主要涉及点等式与基本不等式的内容，其中涉及了基本不等式与三角函数，正余弦定理，解析几何，集合，函数等内容的结合。

预计2024年后命题会在上述几个方面进行，尤其是多圆不等式的考查。

高频考法

题型01多元不等式最值、取值范围问题

题型02基本不等式提升

题型03基本不等式与三角函数结合

题型04基本不等式与解析几何结合

题型05基本不等式与向量结合

题型06基本不等式新考点

题型07基本不等式与正余弦定理结合

题型08指对函数与不等式

题型09基本不等式与立体几何结合

题型10基本不等式与集合、函数新定义

题型11不等式与数列结合

题型12基本不等式与函数结合

题型13不等式新考点

01多元不等式最值、取值范围问题

利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.

1.（2024·贵州·三模）以maxMminM表示数集M中最大（小）的数.设a0,b0,

【答案】3

【分析】

由a2c+b2c=1，得

【详解】由a2c+

设max1a,

由3

≥33

当且仅当a=

所以minmax

故答案为：32

【点睛】关键点点睛：设max1a,1b,

2.（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知正数a，b满足a+b=1，c∈

【答案】62-

【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.

【详解】由a+b=1，得a

则3a

≥6c2+1+3(

所以当a=13,b

故答案为：6

【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.

3.（多选）（2024·浙江·二模）已知正实数a，b，c，且abc，x，y，z为自然数，则满足xa-b+y

A．x=1，y=1，z=4 B．x=1

C．x=2，y=2，z=7 D．x=1

【答案】BC

【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到xa-b+

【详解】要满足xa-b

其中正实数a，b，c，且abc，x，

x

=

≥

=x

当且仅当b-cx

观察各选项，故只需x+y2

A选项，x=1，y=1，z=4时，1

B选项，x=1，y=2，z=5时，1

C选项，x=2，y=2，z=7时，2

D选项，x=1，y=3，z=9时，1+

故选：BC.

4.（2024·河北邯郸·三模）记min{x,y,z}表示x，y，z中最小的数．设a0

【答案】2

【分析】分a是否大于1b进行讨论，由此即可简化表达式，若a≤1b，则可以得到mina,1a+3b≤2，并且存在

【详解】若a≤1b，则ab

因为a1a+3b=1+3ab≤4

所以mina,1a+3b≤2

所以mina,1

若a1b，则ab

因为1b1a+3b=1

所以mina

综上，mina,1

故答案为：2.

【点睛】关键点点睛：关键是分a是否大于1b进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解

5.（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz

【答案】4

【分析】

因式分解得到x+z=6

【详解】因为x,

故x2

即xx

3

=2x

当且仅当2x+y+1=

所以3x+2y

故答案为：4

02基本不等式提升

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

6.（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件：ea-b+c+e

【答案】2

【分析】由基本不等式可得ea-2≤a-1.利用导数证明不等式ex≥x+1，进而

【详解】由基本不等式，得2e

即ea-2≤a-

设f(x)=

所以函数f(x)在(-

所以f(x)min=

令x=a-2，得

解得a=2，由a-b

所以abca4+

故abca4+

故答案为：2

7.（2024·全国·模拟预测）已知x0，y0且x+y=1

A．15 B．25 C．35

【答案】B

【分析】由基本不等式和x+y=1可得0xy≤1

【详解】因为x+y=1，所以x

所以0xy

因为11+x2

令t=3-2xy，则t∈

所以11+

由对勾函数y=x+5x

所以当t=52

所以x2

故选：B．

8.（2024·江苏苏州·模拟预测）已知“a0,b0”与“a+b=1”互为充要条件，则“1a+4

【答案】23

【分析】根据a+b

【详解】1a

当且仅当ba=4

1

=2+a

当且仅当a2+b

解得a=3+3

所以1a+4a

故答案为：23.

9.（2023·全国·模拟预测）已知x∈4,+∞，y∈0,5，z∈0,1

【答案】2+22/

【分析】将2x+y+4zx+2z+2x+zy

【