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1.1.1空间向量及其线性运算
课后·训练提升
基础巩固
1.(多选题)下列说法不正确的是()
A.空间中的任意两个向量共面
B.向量a,b,c共面即它们所在的直线在同一个平面内
C.直线的方向向量是唯一确定的
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
答案:BCD
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果不为向量AC
A.(AB+BC
B.(AA1
C.(BA-BC
D.(AA1
答案:C
3.设空间四点O,A,B,P满足OP=mOA+nOB(m,n∈R),其中m+n=1,则()
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.AB与
答案:A
解析:因为m+n=1,所以m=1-n,
所以OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+n
所以OP-OA=n(OB-OA),即
因为AB≠0,所以AP和AB
又AP和AB有公共点A,所以点A,P,B共线,即点P一定在直线AB上.
4.已知点M在平面ABC内,点O在平面ABC外,若OM=xOA+13OB+13
A.1 B.0
C.3 D.1
答案:D
解析:∵OM=在平面ABC内,∴x+13+13=1,
故选D.
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1的中点,F是AE的三等分点,且AF=12EF,则AF=(
A.AA1
C.12A
答案:D
解析:由题意可知,AF=13AE=
6.如图,已知四面体ABCD,E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,则AB+GD+EC
答案:AF
解析:∵E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,∴GD=
∴AB+
7.已知A,B,C三点不在同一条直线上,点P与点A,B,C共面,对于空间任意一点O,若点P满足OP=15OA+23OB+λOC(λ∈R),则λ=;若点P满足OP=AB
答案:215
解析:由题意可知,15+23+λ=1,
因为OP=AB+tOC=OB-OA+tOC=-OA+
8.已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值.
(1)OQ=PQ+xPC+y
(2)PA=xPO+yPQ+
解:(1)∵OQ=PQ+xPC+y
∴OQ-PQ=xPC+yPA,即OP=xPC+y
又OP=-PO=-12
∴x=-12,y=-1
(2)∵PA=xPO+yPQ+
∴PA-PD=xPO+yPQ,即DA=xPO+y
又DA=CA-CD=2CO-2CQ=2QO=2PO-2
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1求证:点C1在平面AEF内.
证明:∵AE=
∴AE+
由向量共面的充要条件可知,AC
又AC1,
能力提升
1.(多选题)空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边的中点,则下列各式中成立的是()
A.EB+
B.EB+
C.EF+FG
D.EF
答案:BCD
解析:易知四边形EFGH为平行四边形,所以EB+
EB+
EF+FG+
EF-
2.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+
B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面
C.若A,B,C,D四点不共面,则向量AB,
D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
答案:AC
解析:显然A中说法正确;因为任意两个向量都是共面的,故B中说法错误;C中说法正确;当OP=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面,故D中说法错误.故选AC.
3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,设AB=a,BC=b,BB1=c,那么AE1
A.a+c+2b B.c-a+2b
C.2a+c-b D.2a+b-c
答案:B
解析:在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,BD=AD-AB=2BC-
4.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
答案:C
解析:因为PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B
5.在平行六面体ABCD-ABCD中,若AC=xAB+y2BC+z3
答案:6
解析:在平行六面体ABCD-ABCD中,因为AC
又AC=
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