人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算.docVIP

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1.1.1空间向量及其线性运算

课后·训练提升

基础巩固

1.(多选题)下列说法不正确的是()

A.空间中的任意两个向量共面

B.向量a,b,c共面即它们所在的直线在同一个平面内

C.直线的方向向量是唯一确定的

D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb

答案:BCD

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果不为向量AC

A.(AB+BC

B.(AA1

C.(BA-BC

D.(AA1

答案:C

3.设空间四点O,A,B,P满足OP=mOA+nOB(m,n∈R),其中m+n=1,则()

A.点P一定在直线AB上

B.点P一定不在直线AB上

C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上

D.AB与

答案:A

解析:因为m+n=1,所以m=1-n,

所以OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+n

所以OP-OA=n(OB-OA),即

因为AB≠0,所以AP和AB

又AP和AB有公共点A,所以点A,P,B共线,即点P一定在直线AB上.

4.已知点M在平面ABC内,点O在平面ABC外,若OM=xOA+13OB+13

A.1 B.0

C.3 D.1

答案:D

解析:∵OM=在平面ABC内,∴x+13+13=1,

故选D.

5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1的中点,F是AE的三等分点,且AF=12EF,则AF=(

A.AA1

C.12A

答案:D

解析:由题意可知,AF=13AE=

6.如图,已知四面体ABCD,E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,则AB+GD+EC

答案:AF

解析:∵E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,∴GD=

∴AB+

7.已知A,B,C三点不在同一条直线上,点P与点A,B,C共面,对于空间任意一点O,若点P满足OP=15OA+23OB+λOC(λ∈R),则λ=;若点P满足OP=AB

答案:215

解析:由题意可知,15+23+λ=1,

因为OP=AB+tOC=OB-OA+tOC=-OA+

8.已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值.

(1)OQ=PQ+xPC+y

(2)PA=xPO+yPQ+

解:(1)∵OQ=PQ+xPC+y

∴OQ-PQ=xPC+yPA,即OP=xPC+y

又OP=-PO=-12

∴x=-12,y=-1

(2)∵PA=xPO+yPQ+

∴PA-PD=xPO+yPQ,即DA=xPO+y

又DA=CA-CD=2CO-2CQ=2QO=2PO-2

9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1求证:点C1在平面AEF内.

证明:∵AE=

∴AE+

由向量共面的充要条件可知,AC

又AC1,

能力提升

1.(多选题)空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边的中点,则下列各式中成立的是()

A.EB+

B.EB+

C.EF+FG

D.EF

答案:BCD

解析:易知四边形EFGH为平行四边形,所以EB+

EB+

EF+FG+

EF-

2.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()

A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+

B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面

C.若A,B,C,D四点不共面,则向量AB,

D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面

答案:AC

解析:显然A中说法正确;因为任意两个向量都是共面的,故B中说法错误;C中说法正确;当OP=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面,故D中说法错误.故选AC.

3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,设AB=a,BC=b,BB1=c,那么AE1

A.a+c+2b B.c-a+2b

C.2a+c-b D.2a+b-c

答案:B

解析:在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,BD=AD-AB=2BC-

4.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1

A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内

C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内

答案:C

解析:因为PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B

5.在平行六面体ABCD-ABCD中,若AC=xAB+y2BC+z3

答案:6

解析:在平行六面体ABCD-ABCD中,因为AC

又AC=