高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系第2课时范围最值问题教师用书.pdfVIP

第2课时范围、最值问题

考点1范围问题——综合性

(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(ab0)的两焦

点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2－1＝0与以椭圆C的右焦点

为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线

MN距离的取值范围．

解：(1)设椭圆C：＋＝1(ab0)的右焦点F(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，

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椭圆C的长半轴长为半径的圆：(x－c)＋y＝a，

所以圆心到直线x＋y＋2－1＝0的距离d＝＝a．

又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝c，

解得a＝2，b＝，c＝1，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1．

(2)设B(m，n)，设M，N的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点．

因为O为△BMN的重心，则BO＝2OD＝OA，所以D，

即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍．

当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时B在长轴的端点处．

由|OB|＝2，得|OD|＝1，则O到直线MN的距离为1，B到直线MN的距离为3．

当MN的斜率存在时，设M(x，y)，N(x，y)，则有

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两式相减，得＋＝0．

因为D为M，N的中点，所以x＋x＝－m，y＋y＝－n，所以k＝＝－，

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所以直线MN的方程为y＋＝－，即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，

所以原点O到直线MN的距离d＝．

因为＋＝1，

所以3m2＝12－4n2，

所以d＝＝＝．

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因为0n2≤3，所以3≤2，

所以≤，所以≤3d3．

综上所述，≤3d≤3，

即点B到直线MN距离的取值范围为．

圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略

(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取

值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参

数的取值范围．

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,4c成等

比数列．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x

轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．

解：(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为＋y2＝1．

(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．

与椭圆方程联立得

消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

Δ＝(－4k))＝8k

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