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第六章学习单元3平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1平面向量基本定理
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
A级必备知识基础练
1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()
A.0,0 B.1,1
C.3,0 D.3,4
2.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n
A.m0,n0 B.m0,n0
C.m0,n0 D.m0,n0
3.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的是()
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O
D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
4.在平行四边形ABCD中,若DE=EC,AE交BD于点F,则AF=(
A.23AB
C.13AB
5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.?
6.已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.?
7.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以{e1,e2}为基底来表示OC=,OD=.?
8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23
(1)用a,b表示AD,
(2)求证:B,E,F三点共线.
9.如图,已知点M,N,P分别是△ABC三边BC,CA,AB上的点,且BM=14BC,CN=14CA,
B级关键能力提升练
10.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a,若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为.?
11.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μ
12.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,OQ=nOB,m,n∈R,求1
13.如图,已知O为平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,|OA|=|BC|=2|AB|=2a.
(1)求B,C两点坐标;
(2)求BC在OA
答案:
1.D解析因为向量e1与e2不共线,
所以3x=4y-7
2.B解析如图所示,
利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP
则OA=mOP1,OB=nOP2,很明显OA与OP
3.BCD解析由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.
4.D解析如图,∵DE=
∴E为CD的中点.设AF=λAE=λAB+BC+12CD=λ
∵B,F,D三点共线,
∴λ2+λ=1,解得λ=2
∴AF=13
5.6解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,
即xe1+2e2=3λe1+λye2,
所以x=3λ,2=λy,故
6.-2解析∵点P在直线AB上,且OP=3OA+xOB,
∴3+x=1,
∴x=-2.
7.23e1+13e213e1+23e2OC=OA+AC=OA+13AB=e1+
OD=OC+CD=OC+13AB=23
8.(1)解如图,
延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD
(2)证明由(1)知,BE=
∴BE,BF
又BE,BF
∴B,E,F三点共线.
9.解根据题意,得MC=34BC=34(AC
所以MN=MC+CN=34
同理PM=PB+BM=34a+14(b-a)=
10.(2,2)由题意知a=(2cos45°,2sin45°)=(
11.解如图,作平行四边形ODCE,则OC=
在Rt△OCD中,因为|OC|=23,∠COD=30°,∠OCD=90°
所以|OD|=4,|CD|=2,故OD=4OA,OE=2
即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
12.解设OA=a,OB=b,
由题意知OG=23×12(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG
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